|
|
88. sor: |
88. sor: |
| mely utóbbi valóban folytonos '''r'''<sub>0</sub>-ban és értéke itt 0. | | mely utóbbi valóban folytonos '''r'''<sub>0</sub>-ban és értéke itt 0. |
| | | |
− | ==Differenciálhatóság==
| |
− | Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy
| |
− | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math>
| |
− | Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''deriválttenzor'''ának vagy '''differenciál'''jának nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk.
| |
| | | |
− | '''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és ε: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre:
| |
− | : ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá
| |
− | minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re:
| |
− | : <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
| |
− | '''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tuljadonságú, azaz létezzenek ε és η az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' ∈ Dom(''f'')-re
| |
− | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
| |
− | :<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math>
| |
− | ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re:
| |
− | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math>
| |
− | így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
| |
− | :<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math>
| |
− | az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla:
| |
− | :<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math>
| |
− | hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthatünk és t<math>\to</math> 0 esetén
| |
− | ε és η nullává válik.
| |
− | Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor a 0 egy környezetében azonosan egyenlő, így ilyen kicsi bázisokon egyenlő, azaz mindenhol egyenlő.
| |
− | ==Jacobi-mátrix==
| |
− | Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') komponensleképezésenként. A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Világos, hogy (d''f''(''u''))(''x'')='''A''' ''x''. Először vegyük az '''A''' első sorvektorát, '''A'''<sub>1</sub>-et és az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. A d''f''(''u'')-t definiáló határértékegyenlőség ekkor a következő alakot ölti:
| |
− | :<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f_1(u+te_1)-f_1(u)-\mathbf{A}_1\cdot(te_1)}{t}=</math>
| |
− | :::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f_1(u+te_1)-f_1(u)-t\mathbf{A}_1\cdot(e_1)}{t}=</math>
| |
− | :::<math>=-\mathbf{A}_1\cdot e_1+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f_1(u+te_1)-f_1(u)}{t}</math>
| |
− | azaz
| |
− | :<math>\mathbf{A}_1\cdot e_1=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f_1(u+te_1)-f_1(u)}{t}=\partial_1 f_1(u)</math>
| |
− | vagyis ''f'' első koordinátafüggvényének <math>f_1</math>-nek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi mátrixelemet ugyanígy:
| |
− |
| |
− | :<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
| |
− | \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
| |
− | \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
| |
− | \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
| |
− | \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
| |
− | \end{bmatrix}</math>
| |
− | amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk.
| |
− |
| |
− | ===Példák===
| |
− | ====Egyváltozós vektorértékű függvény====
| |
− | A
| |
− | :<math>\mathbf{r}:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}</math>
| |
− | leképezés Jacobi-mátrixa pont a deriváltvektor koordinátamátrixa. Egyetlen változó van így csak a fenti mátrix első oszlopa látszódik, a koordinátafüggvények t-szerinti deriváltjával:
| |
− | :<math>\mathbf{J}(t)=\begin{bmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\1\end{bmatrix}</math>
| |
− | ====Skalárértékű függvény====
| |
− | A mindenhol értelmezett
| |
− | :<math> f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,</math>
| |
− | leképezés Jacobi-mátrixa a parciális deriváltakból álló sorvektor:
| |
− | :<math>\mathbf{J}^f(x,y)=\begin{bmatrix}\cos(x)+y^2, & 2xy + 3y^2\end{bmatrix}</math>
| |
− | ====Vektor-vektor függvény====
| |
− | Vegyük a polártranszformációt:
| |
− | :<math>G:[0,+\infty)\times[0,2\pi)\longrightarrow\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}r\\ \varphi\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}r\cdot \cos(\varphi)\\r\cdot \sin(\varphi)\end{pmatrix} </math>
| |
− | Ekkor komponensfüggvényenként kell kiszámítani a parciális deriváltakat:
| |
− | :<math>\mathbf{J}^G(r,\varphi)=\begin{bmatrix}\cos(\varphi) & - r\cdot\sin(\varphi)\\ \sin(\varphi) & r\cdot\cos(\varphi)\end{bmatrix}</math>
| |
− | Megjegyezzük, hogy ekkor a Jacobi-determináns értéke ''r'' (illetve a "területelem" nagysága: ''r''<math>\cdot</math>d''r''<math>\cdot</math>dφ).
| |
| | | |
| <center> | | <center> |
A lap 2009. március 5., 15:58-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Lineáris leképezések folytonossága
Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.
Ugyanis, legyen az A: N1 N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).
Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor
-
amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.
Tétel. A : Rn Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:
-
Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn ⊃ Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:
-
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.
Bizonyítás. Vegyük az A szetenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=Ax. Így A minden Ai sorára
-
ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor
-
is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Sebességvektor
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
-
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
-
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
-
Példa.
-
set size 0.5,0.5
set parametric
set urange [0:4*pi]
unset colorbox
unset key
unset xtics
unset ytics
unset ztics
splot cos(u
),sin(u
),u
egy spirál paraméterezése. A deriváltja:
-
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Parciális derivált
Ha adott az
-
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
-
-
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre
az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
-
-
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
-
-
Példa.
- , akkor
Gradiens
Ha adott az
-
vektorváltozós skalárfüggvény, akkor ezt általában szintfelületekkel ábrázolhatjuk. Egy (x0,y0,z0)elég kis környezetében a függvény -- ha a későbbi értelmeben differenciálható -- akkor jól közelíthető lineáris vektorváltozós skalárfüggvény, tehát valamely
-
függvény (x0,y0,z0) pontba való eltoltjával -- hiszen ennek az ábrázolása síkoksorokkal történik, amik a pont elég kis környzetében már a hibahatáron belül térnek el Φ-től. Ez akkor van, ha a leképezés csak elsőnél magasabbrendű tagokban különbözik a lineáristól, azaz létezik ε(r):Dom(Φ) R az r0 = (x0,y0,z0)-ban folytonos és ott 0 értéket felvevő függvény, hogy
-
Mindezek miatt értelmes a fenti n vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. n-et ekkor a Φ leképezés (x0,y0,z0) ponthoz tartozó gradiensének nevezzük és tömör definíciója a következő:
-
Példa
-
függvényt.
Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki:
-
-
ahonnan leolvasva:
-
-
mely utóbbi valóban folytonos r0-ban és értéke itt 0.