Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Görbék) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | ==Lineáris leképezések folytonossága== | ||
+ | '''Megjegyzés.''' A normált terek között ható ''A'' lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos. | ||
+ | ''Ugyanis, '' legyen az ''A'': <math>N_1</math> <math>\to</math> <math>N_2</math> lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden ''x'' ∈ B<sub>δ</sub>(0)-ra ''Ax'' ∈ B<sub>ε</sub>(0). | ||
+ | |||
+ | Most ha ε > 0 tetszőleges és <math>x_1</math> és <math>x_2</math> <math>N_1</math>-beliek is tetszőlegesek, akkor | ||
+ | : <math>||\mathcal{A}x_1-\mathcal{A}x_2||=||\mathcal{A}(x_1-x_2)||\leq\varepsilon</math> | ||
+ | amennyiben <math>x_1</math>-<math>x_2</math> ∈ B<sub>δ</sub>(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' ''A'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképzés folytonos, sőt: | ||
+ | :<math>\exists L\geq 0\quad\forall x\in \mathbf{R}^n\quad||\mathcal{A}(x)||\leq L||x||</math> | ||
+ | |||
+ | '''Megjegyzés.''' Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az ''f'': '''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden <math>x_1</math> és <math>x_2</math> Dom(''f'')-belire: | ||
+ | :<math>||f(x_1)-f(x_2)||\leq L||x_1-x_2||</math> | ||
+ | Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással. | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Vegyük az ''A'' szetenderd bázis beli mátrixát. Ekkor ''A''('''x''')='''A'''<math>\cdot</math>'''x'''. Így '''A''' minden '''A'''<sub>i</sub> sorára | ||
+ | : <math>|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|=|\sum\limits_{j=1}^{n}\mathbf{A}_{ij}x_j|\leq\sum\limits_{j=1}^{n}|\mathbf{A}_{ij}x_j| \leq L_i\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|</math> | ||
+ | ahol <math>L_i</math> rögzített i mellett a {|'''A'''<sub>i,j</sub>|} <sub>j=1...n</sub> számok maximuma. Ha most vesszük L = max {<math>L_i</math>}-t is, akkor | ||
+ | : <math>||\mathcal{A}\mathbf{x}||_\max=\max_{i=1...m}|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|\leq L\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|=L\cdot ||\mathbf{x}||_{p=1}</math> | ||
+ | is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz. | ||
==Deriváltfogalmak '''R'''<sup>n</sup>-ben== | ==Deriváltfogalmak '''R'''<sup>n</sup>-ben== | ||
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk. | A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk. |
A lap 2008. március 14., 18:54-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Lineáris leképezések folytonossága
Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.
Ugyanis, legyen az A: N1 N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).
Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor
amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.
Tétel. A : Rn Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:
Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn ⊃ Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.
Bizonyítás. Vegyük az A szetenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=Ax. Így A minden Ai sorára
ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor
is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Görbék
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
Példa.
-
set size 0.5,0.5
set parametric set urange [0:4*pi] unset colorbox unset key unset xtics unset ytics unset ztics
splot cos(u),sin(u),uegy spirál paraméterezése. A deriváltja:
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Felületek
Ha adott az
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
Példa.
- , akkor
Vektor-skalár függvények
Ha adott az
vektorváltozós skalárfüggvény, akkor ezt általában szintfelületekkel ábrázolhatjuk. Egy (x0,y0,z0)elég kis környezetében a függvény -- ha a későbbi értelmeben differenciálható -- akkor jól közelíthető lineáris vektorváltozós skalárfüggvény, tehát valamely
függvény (x0,y0,z0) pontba való eltoltjával -- hiszen ennek az ábrázolása síkoksorokkal történik, amik a pont elég kis környzetében már a hibahatáron belül térnek el Φ-től. Ez akkor van, ha a leképezés csak elsőnél magasabbrendű tagokban különbözik a lineáristól, azaz létezik ε(r):Dom(Φ) R az r0 = (x0,y0,z0)-ban folytonos és ott 0 értéket felvevő függvény, hogy
Mindezek miatt értelmes a fenti n vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. n-et ekkor a Φ leképezés (x0,y0,z0) ponthoz tartozó gradiensének nevezzük és tömör definíciója a következő:
Példa
függvényt.
Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki:
ahonnan leolvasva:
mely utóbbi valóban folytonos r0-ban és értéke itt 0.
Differenciálhatóság
Legyen f: Rn Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn Rm lineáris leképezés, hogy
Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli deriválttenzorának vagy differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |