Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Parciáles deriváltak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Parciális deriváltak) |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás. | amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás. | ||
− | === | + | ===Felületek=== |
+ | |||
+ | Ha adott az | ||
+ | :<math>f:\mathbf{R}^2\supset\!\longrightarrow\mathbf{R}</math> | ||
+ | kétváltozós függvény, akkor adott (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>) ∈ Dom(''f'') pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt: | ||
+ | :<math>f(\;.\;,y_0):\{x\in \mathbf{R}\mid (x,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad x\mapsto f(x,y_0)</math> | ||
+ | :<math>f(x_0,\;.\;):\{y\in \mathbf{R}\mid (x_0,y)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad y\mapsto f(x_0,y)</math> | ||
+ | |||
+ | Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre | ||
+ | az <math>x_0</math> és az <math>y_0</math> pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak: | ||
+ | :<math>\partial_1f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}</math> | ||
+ | :<math>\partial_2f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}</math> | ||
+ | Geometriailag ezek a (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk: | ||
+ | :<math>\partial_1 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)</math> | ||
+ | :<math>\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)</math> | ||
+ | '''Példa.''' | ||
+ | :<math> f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,</math> | ||
+ | akkor | ||
+ | :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos(x)+y^2</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x2y + 3y^2</math> | ||
+ | |||
<center> | <center> | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
A lap 2008. március 13., 10:22-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Görbék
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
Példa.
egy spirál paraméterezése. A deriváltja:
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Felületek
Ha adott az
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
Példa.
akkor
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |