Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Felületek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vektor-skalár függvények) |
||
44. sor: | 44. sor: | ||
Mindezek miatt értelmes a fenti '''n''' vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. '''n'''-et ekkor a Φ leképezés (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>,<math>z_0</math>) ponthoz tartozó '''gradiens'''ének nevezzük és tömör definíciója a következő: | Mindezek miatt értelmes a fenti '''n''' vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. '''n'''-et ekkor a Φ leképezés (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>,<math>z_0</math>) ponthoz tartozó '''gradiens'''ének nevezzük és tömör definíciója a következő: | ||
:<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to\mathbf{r}_0}\frac{\Phi(\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r}_0)-\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r}_0)\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||}=0</math> | :<math>\lim\limits_{\mathbf{r}\to\mathbf{r}_0}\frac{\Phi(\mathbf{r})-\Phi(\mathbf{r}_0)-\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r}_0)\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)}{||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||}=0</math> | ||
+ | |||
+ | ====Példa==== | ||
+ | :<math>\Phi:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R};\mathbf{r}\mapsto\mathbf{r}^2</math> | ||
+ | függvényt. | ||
+ | |||
+ | Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki: | ||
+ | :<math>\Phi(\mathbf{r}) -\Phi(\mathbf{r}_0)=\mathbf{r}^2-\mathbf{r}_0^2=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\mathbf{r}+\mathbf{r}_0)=(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_0+\mathbf{r}_0)=</math> | ||
+ | ::<math>=2\mathbf{r}_0\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)^2=2\mathbf{r}_0\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)+||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||^2</math> | ||
+ | ahonnan leolvasva: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\Phi(\mathbf{r}_0)=2\mathbf{r}_0</math> | ||
+ | :<math>\varepsilon(\mathbf{r})=||\mathbf{r}-\mathbf{r}_0||</math> | ||
+ | mely utóbbi valóban folytonos '''r'''<sub>0</sub>-ban és értéke itt 0. | ||
+ | |||
+ | |||
<center> | <center> |
A lap 2008. március 13., 11:39-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Görbék
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
Példa.
egy spirál paraméterezése. A deriváltja:
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Felületek
Ha adott az
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
Példa.
- , akkor
Vektor-skalár függvények
Ha adott az
vektorváltozós skalárfüggvény, akkor ezt általában szintfelületekkel ábrázolhatjuk. Egy (x0,y0,z0)elég kis környezetében a függvény -- ha a későbbi értelmeben differenciálható -- akkor jól közelíthető lineáris vektorváltozós skalárfüggvény, tehát valamely
függvény (x0,y0,z0) pontba való eltoltjával -- hiszen ennek az ábrázolása síkoksorokkal történik, amik a pont elég kis környzetében már a hibahatáron belül térnek el Φ-től. Ez akkor van, ha a leképezés csak elsőnél magasabbrendű tagokban különbözik a lineáristól, azaz létezik ε(r):Dom(Φ) R az r0 = (x0,y0,z0)-ban folytonos és ott 0 értéket felvevő függvény, hogy
Mindezek miatt értelmes a fenti n vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. n-et ekkor a Φ leképezés (x0,y0,z0) ponthoz tartozó gradiensének nevezzük és tömör definíciója a következő:
Példa
függvényt.
Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki:
ahonnan leolvasva:
mely utóbbi valóban folytonos r0-ban és értéke itt 0.
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |