Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2013. szeptember 29., 10:09-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

1 Lineáris leképezések
2 Lineáris leképezések folytonossága
- 2.1 Operátornorma
3 Differenciálhatóság
4 Jacobi-mátrix

Lineáris leképezések

A V₁ és V₂ vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V₁

$\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}\,$

A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:

$\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}$

viszont más elem a V₂ nem feltétlenül vétetik föl.

Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.

$[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix} \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} \end{bmatrix}$

ahol B = (b₁,b₂,…,b_n) a V₁ egy bázisa, C az V₂ bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek $\mbox{ }_\mathcal{A}$ általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha $\mbox{ }_\mathcal{A}$ V $\rightarrow$ V típusú, akkor csak $\mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}$ -t szokás írni, ha pedig pusztán $\mbox{ }_{[\mathcal{A}]}$ -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rⁿ sztenderd bázisáról van szó, azaz a

$\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}$

vektorrendszerről.

Példák

1. Forgatás az origo körül φ szöggel:

$[\mathcal{F}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix}$

Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.

2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.

$[\mathcal{T}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{bmatrix}$

Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.

Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.

3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a

$\mathcal{D}:f\mapsto f'\,$

lineáris leképezés:

Bázis V-ben: {1, x, x²}, ezért a mátrixa:

$[\mathcal{D}]= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.

Képtér, magtér

A magtere:

$\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in \mathbf{R}^n\mid \mathcal{A}v=0\}$

Ez tényleg altér, mert ha v, u ∈ Ker(A), akkor A v=A u = 0 és

$\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}=\lambda.\mathbf{0}+\mu.\mathbf{0}=\mathbf{0}$

A magtér az A injektivitásával van kapcsolatban. A injektív, ha

$\mathcal{A}\mathbf{v}=\mathcal{A}\mathbf{u}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}=\mathbf{u}$

Azaz minden v - u alakú vektorra:

$\mathcal{A}(\mathbf{v}-\mathbf{u})=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}-\mathbf{u}=\mathbf{0}$

de minden vektor v - u alakú, ezért ez pontosan azt jelenti, hogy Ker(A)={0} a triviális altér.

A képtere:

$\mathrm{Im}(\mathcal{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in V_2\mid \mathbf{v}\in V_1\}=\{\mathbf{u}\in V_2\mid \exist \mathbf{v}\in V_1\quad \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{u}\}$

Ez szintén altér, mert ha vesszük két képtérbeli elem lineáris kombinációját, akkor szintén valamilyen elem képe.

$\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}=\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})$

Ez a szűrjektivitással van kapcsolatban. A szűrjektív, ha

$\forall \mathbf{u}\in V_2\quad\exist \mathbf{v}\in V_1\quad\mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{u}\,$

márpedig Im(A)=V₂ pontosan azt jelenti, hogy az érkezési halmaz minden vektora előáll képként.

A két altér dimenziója között szoros kapcsolat van:

Dimenziótétel. Ha A : $V 1$ $\to$ $V 2$ véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés, akkor

$\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = n$

Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy Ker(A) egy bázisának száma + Im(A) egy bázisának száma = $V 1$ egy bázisának száma. Legyen dim $V 1$ = n és dim Ker(A) = k. Rögzítsük Ker(A) egy

$B=\{b_1,...,b_k\}\,$

bázisát. Világos, hogy dim A(<B>) = {0}, ezért a képtér nemnulla pontjaiba csak úgy juthatunk, ha <B>-n kívüli elemet választunk -- válasszunk annyit, mely az egész $V 1$ -et generálja, egészítsük ki B-t a $V 1$ egy bázisává a C halmaz hozzávételével:

$B\cup C=\{b_1,...,b_k,c_1,...,c_l\}\,$

Ezek speciális tulajdonsága, hogy

$\langle B\rangle\oplus \langle C\rangle=V_1$

azaz közösen kifeszítik a $V 1$ -et és a kifeszített alterek közös része a {0}. Ugyanis, ha v ∈ <B>∩<C>, akkor

$\mathbf{v}=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k$

és

$\mathbf{v}=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l$

akkor ezeket kivonva:

$\mathbf{0}=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k-\mu_1c_1-\mu_2c_2-...-\mu_lc_l$

Amiből a BUC függetlensége miatt következik:

0 = λ 1 = λ 2 = ... = λ k = μ 1 = μ 2 = ... = μ l

Ekkor a D={ Ac₁, Ac₂, ...,Ac_l } vektorrendszer bázisa lesz Im(A)-nak. Ugyanis

1. D kifeszíti Im(A)-t. Egy

$u=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l\,$

elemmel:

$\mathcal{A}u=\mathcal{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=$

$=\mathcal{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k)+\mathcal{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=$

$=0+\mu_1.\mathcal{A}c_1+\mu_2.\mathcal{A}c_2+...+\mu_l.\mathcal{A}c_l$

2. D lineárisan független. Ha ugyanis

$\nu_1\mathcal{A}c_1+\nu_2\mathcal{A}c_2+...+\nu_l\mathcal{A}c_l=0$

akkor

$\mathcal{A}(\nu_1.c_1+\nu_2.c_2+...+\nu_l.c_l)=0$

azaz

$\nu_1.c_1+\nu_2.c_2+...+\nu_l.c_l\in Ker(\mathcal{A})\cap \langle C\rangle=\{0\}$

$0=\nu_1=\nu_2=...=\nu_l\,$

Főtengelytétel

Az Rⁿ $\to$ Rⁿ leképezést szimmetrikusnak nevezünk, ha a szenderd bázisban szimmetrikus a mátrixa. Ekkor minden ortonormált bázisban is szimmetrikus lesz a mártixa. Ezek között a bázisok között az átváltó mátrix ortogonális, azaz

$O\cdot O^{\mathrm{T}}=I$

Értelmezhető leképezés transzponáltja is, mert ortnormált bázisok közötti átváltás invariáns a transzponálásra. Általában az átváltott mátrix:

$TAT^{-1}\,$

alakú. Ortogonális transzformáció esetén pedig

$(OAO^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=(O^\mathrm{T})^\mathrm{T}(OA)^{\mathrm{T}}=OA^{\mathrm{T}}O^{\mathrm{T}}\,$

Ekkor a szimmetria pont azt jelenti, hogy A=A^T.

Főtengelytétel. Szimmetrikus leképezés sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható csupa valós sajátértékekkel.

Lineáris leképezések folytonossága

Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.

Ugyanis, legyen az A: $N 1$ $\to$ $N 2$ lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ B_δ(0)-ra Ax ∈ B_ε(0).

Most ha ε > 0 tetszőleges és $x 1$ és $x 2$ $N 1$ -beliek is tetszőlegesek, akkor

$||\mathcal{A}x_1-\mathcal{A}x_2||=||\mathcal{A}(x_1-x_2)||\leq\varepsilon$

amennyiben $x 1$ - $x 2$ ∈ B_δ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.

Tétel. A : Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképzés folytonos, sőt:

$\exists L\geq 0\quad\forall x\in \mathbf{R}^n\quad||\mathcal{A}(x)||\leq L||x||$

Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rⁿ ⊃ $\to$ R^m függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden $x 1$ és $x 2$ Dom(f)-belire:

$||f(x_1)-f(x_2)||\leq L||x_1-x_2||$

Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.

Ha lipschitzes, akkor pedig folytonos, mert ekkor δ=ε/(L+1)-gyel

$|f(x)-f(0)|\leq L|x|<L\delta=L\frac{\varepsilon}{L+1}<\varepsilon.$

Bizonyítás. Vegyük az A sztenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=A $\cdot$ x. Így A minden A_i sorára

$|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|=|\sum\limits_{j=1}^{n}\mathbf{A}_{ij}x_j|\leq\sum\limits_{j=1}^{n}|\mathbf{A}_{ij}x_j| \leq L_i\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|$

ahol $L i$ rögzített i mellett a {|A_i,j|} _j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max { $L i$ }-t is, akkor

$||\mathcal{A}\mathbf{x}||_\max=\max_{i=1...m}|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|\leq L\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|=L\cdot ||\mathbf{x}||_{p=1}$

is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.

Operátornorma

A lineáris leképezések Lin(Rⁿ,R^m) tere normált tér, ugyanis vegyük a következő számot:

$||\mathcal{A}||_{op}=_{\mathrm{def}}\sup_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{||\mathcal{A}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=\sup_{||\mathbf{x}||=1}||\mathcal{A}\mathbf{x}||$

Ez létezik, mivel x $\mapsto$ ||Ax|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen.

Differenciálhatóság

A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0$

$\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m$

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m$

Definíció. Legyen f: Rⁿ $\supset\!\longrightarrow$ R^m és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés, hogy

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}$

Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.

Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rⁿ $\to$ R^m lineáris leképezés és ε: Dom(f) $\to$ R^m függvény, melyre:

ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá

minden x ∈ Dom(f)-re:

$f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re

$f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||$

$f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||$

ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:

$(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0$

így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re

$(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0$

az azonosan 0 függény határértéke t $\to$ 0 esetén szintén nulla:

$0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y$

hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t $\to$ 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.

Jacobi-mátrix

A df(u) lineáris leképezés ( $e 1$ , $e 2$ ,..., $e n$ ) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!

Írjuk fel a definíciót, de az $e 1$ egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + t $e 1$ . Ekkor

$x-u=te_1\,$

ami azért hasznos, mert a

$\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,$

alakból kiemelhetó t:

$0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=$

$=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=$

$=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}$

azaz

$\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)$

vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:

$[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix} \partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\ \partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\ \end{bmatrix}$

amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.

Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.

Azaz:

teljes differenciálhatóság $\Longrightarrow$ parciális differenciálhatóság

de ez fordítva már nem igaz:

parciális differenciálhatóság $\not\Rightarrow$ teljes differenciálhatóság

Erre vonatkozik a két alábbi példa.

pótló gyakorlat	5. gyakorlat

@@ 150. sor: / 150. sor: @@
 :<math>||\mathcal{A}||_{op}=_{\mathrm{def}}\sup_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{||\mathcal{A}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=\sup_{||\mathbf{x}||=1}||\mathcal{A}\mathbf{x}||</math>
 Ez létezik, mivel x <math>\mapsto</math> ||''A''x|| folytonos a kompakt 0 középpontú, egységsugarú gömbfelületen.
+==Differenciálhatóság==
+A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{|x-u|}=0</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{x-u}=0\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)-m(x-u)}{-(x-u)}=0</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\left(\frac{f(x)-f(u)}{x-u}-m\right)=0</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u+}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m,\quad\wedge\quad\lim\limits_{x\to u-}-\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=-m</math>
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}=m</math>
+'''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\longrightarrow</math> '''R'''<sup>m</sup> és ''u'' &isin; int Dom(f). Azt mondjuk, hogy ''f'' '''differenciálható''' az ''u'' pontban, ha létezik olyan ''A'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, hogy
+:<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)-f(u)-\mathcal{A}(x-u)}{||x-u||_{\mathbf{R}^n}}=0_{\mathbf{R}^m}</math>
+Ekkor ''A'' egyértelmű és az ''f'' leképezés ''u''-bent beli '''differenciál'''jának  nevezzük és d''f''(''u'')-val vagy D''f''(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha ''teljes differenciál''nak, ''totális differenciál''nak vagy ''Fréchet-derivált''nak is mondjuk.
+'''Megjegyzés.''' A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik ''A''': ''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés és &epsilon;: Dom(''f'') <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény, melyre:
+: &epsilon; folytonos u-ban és &epsilon;(u)=0, továbbá
+minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re:
+: <math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
+'''Megjegyzés.''' Azt, hogy ''A'' egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen ''A'' és ''B'' is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek &epsilon; és &eta; az ''u''-ban eltűnő és ott folytonos Dom(''f'')-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden ''x'' &isin; Dom(''f'')-re
+:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{A}(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||</math>
+:<math>f(x)=f(u)+\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||</math>
+ezeket kivonva egymásból és használva '''minden''' ''x''-re:
+:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})(x-u)+(\varepsilon(x)-\eta(x))||x-u||=0</math>
+így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
+:<math>(\mathcal{A}-\mathcal{B})ty+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||=0</math>
+az azonosan 0 függény határértéke t<math>\to</math> 0 esetén szintén nulla:
+:<math> 0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(\mathcal{A}-\mathcal{B})(ty)+(\varepsilon(u+ty)-\eta(u+ty))||ty||}{t}=(\mathcal{A}-\mathcal{B})y</math>
+hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t<math>\to</math> 0 esetén
+&epsilon; és &eta; nullává válik.
+Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
+==Jacobi-mátrix==
+A d''f''(''u'') lineáris leképezés (<math>e_1</math>,<math>e_2</math>,...,<math>e_n</math>) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [d''f''(''u'')] = '''A'''. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat d''f''(''u'') leképezés!
+Írjuk fel a definíciót, de az <math>e_1</math> egységvektor mentén tartsunk ''u''-hoz: ''x'' = ''u'' + ''t''<math>e_1</math>. Ekkor
+:<math>x-u=te_1\,</math>
+ami azért hasznos, mert a
+:<math>\mathcal{A}(x-u)=\mathcal{A}(te_1)\,</math>
+alakból kiemelhetó t:
+:<math>0=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-\mathcal{A}(te_1)}{t}=</math>
+:::<math>=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)-t.\mathcal{A}(e_1)}{t}=</math>
+:::<math>=-\mathcal{A}(e_1)+\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}</math>
+azaz
+:<math>\mathcal{A}(e_1)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te_1)-f(u)}{t}=\partial_1 f(u)</math>
+vagyis ''f'' koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az ''u'' pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
+:<math>[\mathrm{d}f(u)]=\mathbf{J}^f(u)=\begin{bmatrix}
+\partial_1 f_1(u) & \partial_2 f_1(u) & \dots & \partial_n f_1(u)\\
+\partial_1 f_2(u) & \partial_2 f_2(u) & \dots & \partial_n f_2(u)\\
+\vdots            &     \vdots        &   \ddots    & \vdots \\
+\partial_1 f_m(u) & \partial_2 f_m(u) & \dots & \partial_n f_m(u)\\
+\end{bmatrix}</math>
+amelyet '''Jacobi-mátrix'''nak nevezünk.
+'''Következmény.''' Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
+Azaz:
+:'''teljes''' differenciálhatóság <math>\Longrightarrow</math> '''parciális''' differenciálhatóság
+de ez fordítva már nem igaz:
+: '''parciális''' differenciálhatóság <math>\not\Rightarrow</math> '''teljes''' differenciálhatóság
+Erre vonatkozik a két alábbi példa.

Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

A lap 2013. szeptember 29., 10:09-kori változata

Tartalomjegyzék

Lineáris leképezések

Példák

Képtér, magtér

Főtengelytétel

Lineáris leképezések folytonossága

Operátornorma

Differenciálhatóság

Jacobi-mátrix

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök