Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Skalárok szorzata) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Skalárral való szorzás) |
||
76. sor: | 76. sor: | ||
:<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math> | :<math>\mathrm{grad}(\lambda\mu)(u)=\mu(u).\mathrm{grad}\,\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{grad}\,\mu(u)</math> | ||
− | ==== | + | ====Skalárfüggvénynel való szorzás==== |
λ: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ''f'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' ∈ ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.''f'' is és | λ: ''H'' <math>\to</math> '''R''', ''f'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' ∈ ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.''f'' is és | ||
:<math>[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i </math> | :<math>[\mathrm{d}(\lambda.f)(u)]_{ij}=\partial_j(\lambda.f)=\partial_j\lambda f_i=f_i\partial_j\lambda+\lambda \partial_jf_i </math> | ||
82. sor: | 82. sor: | ||
:<math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=f(u)\scriptstyle{\otimes}</math><math>\mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{d}f(u)\,</math> | :<math>\mathrm{d}(\lambda.f)(u)=f(u)\scriptstyle{\otimes}</math><math>\mathrm{grad}\lambda(u)+\lambda(u).\mathrm{d}f(u)\,</math> | ||
ahol <math>\scriptstyle{\otimes}</math> a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. | ahol <math>\scriptstyle{\otimes}</math> a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik. | ||
+ | ====Vekrotfüggvények skaláris szorzata==== | ||
+ | ''f'',''g'':''H'' <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, ahol ''H'' ⊆ '''R'''<sup>n</sup> és az ''u'' ∈ ''H''-ban mindketten differenciálhatók, akkor ''f''<math>\cdot</math>''g'' is és | ||
+ | :<math>[\mathrm{d}(f\cdot g)(u)]_{1j}=\partial_j(f\cdot g)=\partial_j f_kg_k=f_k\partial_j g_k+g_k \partial_j f_k </math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\mathrm{d}(f\cdot g)(u)=(f(u)\cdot)\circ \mathrm{d}g(u)+(g(u)\cdot)\circ \mathrm{d}f(u)</math> | ||
+ | illetve a Jacobi-mátrixszal: | ||
+ | :<math>\mathbf{J}^{f\cdot g}(u)=[f(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^g(u) + | ||
+ | [g(u)]^\mathrm{T}\cdot \mathbf{J}^f(u)</math> | ||
+ | ahol <math>[.]^\mathrm{T}</math> az oszlopvektor transzponáltját, <math>(v\cdot)</math> pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli. | ||
A lap 2008. március 16., 20:23-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
A differenciálás tulajdonságai
Lineáris és affin függvény deriváltja
Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Tehát minden u ∈ Rn-re
Példa.
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
Függvények lineáris kombinációja
Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
Példa.
Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla r-re számítható ki:
illetve a gradiens:
Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, a skaláris szorzás.
illetve a gradiens:
Szorzatok differenciálja
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
Skalárfüggvények szorzata
λ, μ: H R, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és
azaz
Skalárfüggvénynel való szorzás
λ: H R, f:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és
azaz
ahol a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik.
Vekrotfüggvények skaláris szorzata
f,g:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor fg is és
azaz
illetve a Jacobi-mátrixszal:
ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |