Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
A differenciálás tulajdonságai
Lineáris és affin függvény deriváltja
Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Tehát minden u ∈ Rn-re
Függvények lineáris kombinációja
Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |