Matematika A2a 2008/7. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonos parciális differenciálhatóság) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | |||
+ | ==Függvénykompozíció differenciálja== | ||
+ | '''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' ∈ int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az | ||
+ | :<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és | ||
+ | :<math> \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás. '' Alkalmas ε, ''A'' és η ''B'' párral, minden ''x'' ∈ Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g'')-re: | ||
+ | :<math>f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math> | ||
+ | ::<math>=f(g(u))+\mathcal{A}(\mathcal{B}(x-u)+\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math> | ||
+ | ::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+\mathcal{A}(\eta(x)||x-u||)+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)=</math> | ||
+ | ::<math>=f(g(u))+(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})(x-u)+(\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||)||x-u||</math> | ||
+ | Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az | ||
+ | :<math>\varepsilon_{f\circ g}(x)=\mathcal{A}(\eta(x))+\varepsilon(g(x))||\mathcal{B}\frac{x-u}{||x-u||}+\eta(x)||</math> | ||
+ | melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az ''u''-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán ''B'' minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel. | ||
+ | |||
+ | Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi | ||
+ | |||
+ | '''Következmény.''' Ha ''g'': '''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R''', az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R''' ⊃<math>\to</math> '''R''' a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' ∈ int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''), akkor | ||
+ | :<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és | ||
+ | :<math> \mathrm{grad}(f\circ g)(u)=f'(g(u)).\mathrm{grad}\,g(u)</math> | ||
+ | Ahol . a skalárral való szorzást jelöli. | ||
+ | |||
+ | ''Ugyanis,'' a deriváltak lineáris leképezések: | ||
+ | :<math>v\mapsto (\mathrm{d}g(u))v=(\mathrm{grad}\,(u))\cdot v\,</math> | ||
+ | :<math>w\mapsto (\mathrm{d}f(x))w=f'(x)\cdot w\,</math> | ||
+ | Ezek kompozíciója (f-et az x=g(u)-ban felírva): | ||
+ | :<math>(\mathrm{d}(f\circ g)(u))v=(\mathrm{d}f(g(u)))(\mathrm{d}g(u))v=f'(g(u)).(\mathrm{d}g(u))v=f'(g(u)).(\mathrm{grad}\,g(u))\cdot v\,</math> | ||
+ | |||
+ | Hol diffható? | ||
+ | :<math>\Phi(r)=|r|=\sqrt{r^2}\,</math> | ||
+ | |||
+ | (Útmutatás: abs'=sgn, a 0-án kívül.) | ||
+ | |||
+ | 0-ban nem, mert a parciális deriváltak nem léteznek. Azon kívül: | ||
+ | |||
+ | Külső függvény: | ||
+ | :<math>f(x)=\sqrt(x)\,</math> | ||
+ | nemnulla x-re: | ||
+ | :<math>f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\,</math> | ||
+ | |||
+ | A belső: | ||
+ | :<math>r^2\,</math> | ||
+ | gradiense 2r. | ||
+ | |||
+ | Így: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\sqrt{r^2}=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{r^2}}. 2r=\frac{r}{|r|}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Gömbszimmetrikus feldatok=== | ||
+ | |||
+ | Mi az | ||
+ | :<math>\Phi(r)=|r|^\alpha\quad\quad\alpha>0</math> | ||
+ | függvény gradiense és differenciálja. Hol diffható? | ||
+ | |||
+ | 0-ban α=1 vagy α<1 esetén biztosan nem diffható, mert a parciális deriváltak nem léteznek. | ||
+ | |||
+ | A külső függvény: | ||
+ | :<math>\,f(x)=x^\alpha</math> | ||
+ | :<math>\,f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}</math> | ||
+ | |||
+ | A belső függvény: | ||
+ | <math>\,f(x)=|r|</math> | ||
+ | |||
+ | Ez nem diffható 0-ban (mert a parciális deriváltjai nem léteznek), de máshol: | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,|r|=\frac{r}{|r|}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ekkor r≠0-ban: | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\Phi(r)=\alpha |r|^{\alpha-1}.\frac{r}{|r|}=\alpha r |r|^{\alpha-2}</math> | ||
+ | |||
+ | Ha r=0 és α>1, akkor | ||
+ | :<math>\frac{|r|^\alpha-0-0}{|r|}=|r|^{\alpha-1}\to 0</math> | ||
+ | Tehát a derivált | ||
+ | :<math>\mathrm{grad}\,\Phi(r)=\left\{\begin{matrix}0, &\mathrm{ha} & r=0\\\alpha r |r|^{\alpha-2}, &\mathrm{ha} & r\ne 0\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | '''Példa.''' r<sup>3</sup>|r|<sup>α</sup> milyen α-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja? | ||
+ | |||
==Folytonos parciális differenciálhatóság== | ==Folytonos parciális differenciálhatóság== |
A lap 2009. április 2., 13:48-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi
Következmény. Ha g: Rn ⊃ R, az u-ban differenciálható, f: R ⊃ R a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g), akkor
- differenciálható u-ban és
Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.
Ugyanis, a deriváltak lineáris leképezések:
Ezek kompozíciója (f-et az x=g(u)-ban felírva):
Hol diffható?
(Útmutatás: abs'=sgn, a 0-án kívül.)
0-ban nem, mert a parciális deriváltak nem léteznek. Azon kívül:
Külső függvény:
nemnulla x-re:
A belső:
gradiense 2r.
Így:
Gömbszimmetrikus feldatok
Mi az
függvény gradiense és differenciálja. Hol diffható?
0-ban α=1 vagy α<1 esetén biztosan nem diffható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.
A külső függvény:
A belső függvény:
Ez nem diffható 0-ban (mert a parciális deriváltjai nem léteznek), de máshol:
Ekkor r≠0-ban:
Ha r=0 és α>1, akkor
Tehát a derivált
Példa. r3|r|α milyen α-ra diffható mindenhol és mi a deriváltja?
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Nem differenciálható, nem folytonosan parciálisan differenciálható függvény
parciális deriváltfüggvényei léteznek:
a másik hasonlóan. A 0-ban 0 mindkettő, de az (0,1/n) mentén a 0-ba tartva az 1-hez tart, ami nem 0.
Differenciálható, de nem folytonosan parciálisan differenciálható
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
és grad f nem korlátos. Ez persze a parciális deriváltakon is megátszik: azok sem korlátosak.
Nevezetes függvénysorozat
- függvényosztály folytonossága parciális és totális deifferenciálhatósága, folytonos parciális és totális differenciálhatósága
Másodrendű parciális deriváltak
Ha f a H ⊆ R2 halmazon értelmezett R-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvény és a
gradiensfüggvény szintén differenciálható u-ban, akkor f-et u-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az f függény u-beli másodrendű differenciálja:
Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az u egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és
alakú, amit Hesse-féle mátrixnak nevezünk.
A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:
Tétel (Young) Kétszer differenciálható függvény vegyes másodrendű parciális deriváltjai egyenlők.
(A tétel egy gyenge verziójának könnyen átlátható szemléletes bizonyítása megtalálható itt: User:Mozo/egyéb#Young-tétel.)
A Young-tétel értelmében a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d2f(u) szimmetrikus tenzor
Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.
Megjegyzés. Elvileg a
leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az u pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem Rm-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a R2 R lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az f függvény u-beli másodrendű differenciálja az
lineáris leképezés, melyre teljesül a
A bázisvektorokon A a következőt veszi fel:
ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d2f(u) mátrixával, így azonosítható vele.
6. gyakorlat | 8. gyakorlat |