Szerkesztő:Mozo/ A2 bizonyítások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Többváltozós B–W-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Weierstrass tétele) |
||
| 51. sor: | 51. sor: | ||
''Bizonyítás.'' | ''Bizonyítás.'' | ||
| − | 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik δ(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>δ</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) intervallumon belül mara. Ekkor nyílt halmazok {B<sub>δ(u)</sub>(''u'') : ''u'' ∈ ''K''} rendszere lefedi ''K''-t, vagyis a | + | 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik δ(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>δ</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) intervallumon belül mara. Ekkor nyílt halmazok {B<sub>δ(u)</sub>(''u'') : ''u'' ∈ ''K''} rendszere lefedi ''K''-t, vagyis a Heine–Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefed. Legyen ez {B<sub>δ(u)</sub>(''u'') : ''u'' ∈ ''F''}, ahol tehát ''F'' ⊆ ''K'' véges. Ezek képei mind a (''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) (''u''∈''F'')inervallumokban vannak, így a {(''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) : ''u'' ∈ ''F''} véges intervallumrendszer lefedi Ran(''f'')-et. Tehát ''f'' a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik. |
2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | 2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | ||
:<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | :<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | ||
függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum. Ugyanis ''f'' minden határon túl megközelíti ''S''-et, azaz a különbségük reciproka minden határon túl nő. | függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum. Ugyanis ''f'' minden határon túl megközelíti ''S''-et, azaz a különbségük reciproka minden határon túl nő. | ||
A lap 2008. május 24., 07:41-kori változata
Tartalomjegyzék |
Többváltozós B–W-tétel
- Lásd még:Bolzano–Weierstrass-tétel
A többdimenziós (de nem végtelendimenziós) esetben a csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs RN-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R2-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.
A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.
Bizonyítás
Legyen
egy N komponensű sorozat, mely korlátos RN-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az
sorozathoz létezik σ1 indexsorozat úgy, hogy az
konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a
sorozatnak is van
konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a
sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek σ1, σ2, ..., σN indexsorozatok, hogy a
sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re
is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az
sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A
tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki (an)-ből.
Ellenpélda végtelen dimenzióra
A tétel végtelen dimenziós esetben nem igaz. Vegyük példul a korlátos valós függvények
![\mathrm{B}([-1,+1],\mathbf{R})\,](/upload/math/6/f/8/6f81ef1e657e662d5f30dcfba319be40.png)
terében a szuprémumnormát:
![||f||=_{\mathrm{def}}\sup\{|f(x)|\mid x\in [-1,+1]\}\,](/upload/math/9/e/c/9ec0abff769966a02d1869c5efc9881e.png)
és a belőle definiálható távolságot. Ebben az esetben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények
![f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})](/upload/math/6/8/1/68142b19ef9f58a8e151b2ea4973d681.png)
sorozata nem konvergens. Ez amiatt van, hogy az itteni konvergenciafogalom ugyanaz, mint a függvénysorozatok egyenletes konvergenciájának fogalma. Bár ez a függvénysorozat pontonként konvergál a szignumfüggvényhez, de a sorozat a szignumfüggvény minden környezetéből kilép. Emiatt még az is igaz, hogy egyetlen részsorozta sem lehet konvergens (azaz egyenletesen konvergens), holott a függvénysorozat maga korlátos (u.is. belefoglalható az azonosan 0 függvény 2 sugarú környezetébe).
Megjegyzés. A tétel azon iránya, mely a sorozatkompaktságot tételezi fel, igaz marad minden metrikus térben.
Weierstrass tétele
Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
- (Ha f ∈ C(Rn,R), Dom(f) kompakt, akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f) )
Bizonyítás.
1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-ε,f(u)+ε) intervallumon belül mara. Ekkor nyílt halmazok {Bδ(u)(u) : u ∈ K} rendszere lefedi K-t, vagyis a Heine–Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefed. Legyen ez {Bδ(u)(u) : u ∈ F}, ahol tehát F ⊆ K véges. Ezek képei mind a (f(u)-ε,f(u)+ε) (u∈F)inervallumokban vannak, így a {(f(u)-ε,f(u)+ε) : u ∈ F} véges intervallumrendszer lefedi Ran(f)-et. Tehát f a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik.
2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K 
R, x 
S-f(x)függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a
függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis f minden határon túl megközelíti S-et, azaz a különbségük reciproka minden határon túl nő.
