Szerkesztő:Mozo/ A2 bizonyítások
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Bizonyítás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Weierstrass tétele) |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
46. sor: | 46. sor: | ||
==Weierstrass tétele== | ==Weierstrass tétele== | ||
− | Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát és Heine–Borel-tételt. | + | Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát (és esetleg a bizonyitas egy masik variansa a Heine–Borel-tételt). |
(''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t. | (''Kompakt'' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t. | ||
− | ''Heine–Borel-tétel.'' | + | ''Heine–Borel-tétel.'' Veges dimenzios normalt terben korlátos és zárt halmaz kompakt.) |
'''Tétel''' (''Weierstrass'') Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. | '''Tétel''' (''Weierstrass'') Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. | ||
57. sor: | 57. sor: | ||
''Bizonyítás.'' | ''Bizonyítás.'' | ||
− | 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik δ(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>δ</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) intervallumon belül | + | 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik δ(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>δ</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokbol allo {B<sub>δ(u)</sub>(''u'') : ''u'' ∈ ''K''} rendszer lefedi ''K''-t, ami kompakt, azaz ebből mar véges sok is lefedi ''K''-t. Legyen ez {B<sub>δ(u)</sub>(''u'') : ''u'' ∈ ''F''}, ahol tehát ''F'' ⊆ ''K'' véges. Ezek képei mind a (''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) (''u''∈''F'') intervallumokban vannak, így a {(''f''(''u'')-ε,''f''(''u'')+ε) : ''u'' ∈ ''F''} véges intervallumrendszer lefedi Ran(''f'')-et. Tehát ''f'' a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik. |
2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | 2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'')függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | ||
:<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | :<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | ||
− | függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum | + | függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum, mert ''f'' minden határon túl megközelíti ''S''-et. Ugyanis minden S - 1/''n'' számhoz létezik olyan <math>x_n</math> ∈ ''K'', hogy ''f''(<math>x_n</math>) > S - 1/''n''. Létezik tehát olyan (<math>x_n</math>) ''K''-ban haladó sorozat, melyre f(x_n) alulrúl az ''S''-hez tart. Ám, ekkor az 1/(S-f(<math>x_n</math>)) a +∞-hez tart, ami ''h'' korlátossága miatt lehetetlen. |
==Differenciálhatóság== | ==Differenciálhatóság== | ||
126. sor: | 126. sor: | ||
===Tétel és bizonyítás=== | ===Tétel és bizonyítás=== | ||
'''Dimenziótétel'''. Ha '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, akkor | '''Dimenziótétel'''. Ha '''A''' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> lineáris leképezés, akkor | ||
− | :<math>\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{Im}(\mathbf{A}) = n</math> | + | :<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = n</math> |
''Bizonyítás.'' Ha vesszük Ker('''A''') egy | ''Bizonyítás.'' Ha vesszük Ker('''A''') egy | ||
205. sor: | 205. sor: | ||
sor. Ez konverges, holott az n-edik gyökök sorozatának limesz szuperiorja 1. | sor. Ez konverges, holott az n-edik gyökök sorozatának limesz szuperiorja 1. | ||
− | Az előbb említett általános divergencia kritériumon túl azonban csak azt mondhatjuk, hogy ha limsup(c<sub>n</sub>) = 1, akkor további vizsgálatokat kell végeznünk, hogy | + | Az előbb említett általános divergencia kritériumon túl azonban csak azt mondhatjuk, hogy ha limsup(c<sub>n</sub>) = 1, akkor további vizsgálatokat kell végeznünk, hogy döntésre juthassunk a konvergencia/divergencia kérdésében. |
A lap jelenlegi, 2014. január 7., 13:22-kori változata
Tartalomjegyzék |
Többdimenziós Bolzano–Weierstrass-tétel
- Lásd még:Bolzano–Weierstrass-tétel
A többdimenziós (de nem végtelendimenziós) esetben a csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs RN-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R2-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.
A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.
Bizonyítás
Legyen
egy N komponensű sorozat, mely korlátos RN-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az
sorozathoz létezik σ1 indexsorozat úgy, hogy az
konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a
sorozatnak is van
konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a
sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek σ1, σ2, ..., σN indexsorozatok, hogy a
sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re
is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az
sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A
tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki (an)-ből.
Ellenpélda végtelen dimenzióra
A tétel végtelen dimenziós esetben nem igaz. Vegyük példul a korlátos valós függvények
terében a szuprémumnormát:
és a belőle definiálható távolságot. Ebben az esetben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények
sorozata nem konvergens. Ez amiatt van, hogy az itteni konvergenciafogalom ugyanaz, mint a függvénysorozatok egyenletes konvergenciájának fogalma. Bár ez a függvénysorozat pontonként konvergál a szignumfüggvényhez, de a sorozat a szignumfüggvény minden környezetéből kilép. Emiatt még az is igaz, hogy egyetlen részsorozta sem lehet konvergens (azaz egyenletesen konvergens), holott a függvénysorozat maga korlátos (u.is. belefoglalható az azonosan 0 függvény 2 sugarú környezetébe).
Megjegyzés. A tétel azon iránya, mely a sorozatkompaktságot tételezi fel, igaz marad minden metrikus térben.
Weierstrass tétele
Az alábbiakban felhasználjuk a kompaktság fogalmát (és esetleg a bizonyitas egy masik variansa a Heine–Borel-tételt).
(Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine–Borel-tétel. Veges dimenzios normalt terben korlátos és zárt halmaz kompakt.)
Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
- (Ha f ∈ C(Rn,R), Dom(f) kompakt, akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f) )
Bizonyítás.
1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis ε tetszőleges pozitív szám és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-ε,f(u)+ε) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokbol allo {Bδ(u)(u) : u ∈ K} rendszer lefedi K-t, ami kompakt, azaz ebből mar véges sok is lefedi K-t. Legyen ez {Bδ(u)(u) : u ∈ F}, ahol tehát F ⊆ K véges. Ezek képei mind a (f(u)-ε,f(u)+ε) (u∈F) intervallumokban vannak, így a {(f(u)-ε,f(u)+ε) : u ∈ F} véges intervallumrendszer lefedi Ran(f)-et. Tehát f a "legmagasabb" intervallum felső határa és a "legalacsonyabb" intervallum alsó határa közé esik.
2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K R, x S-f(x)függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a
függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum, mert f minden határon túl megközelíti S-et. Ugyanis minden S - 1/n számhoz létezik olyan xn ∈ K, hogy f(xn) > S - 1/n. Létezik tehát olyan (xn) K-ban haladó sorozat, melyre f(x_n) alulrúl az S-hez tart. Ám, ekkor az 1/(S-f(xn)) a +∞-hez tart, ami h korlátossága miatt lehetetlen.
Differenciálhatóság
Definíciója
Legyen f: Rn Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn Rm lineáris leképezés, hogy
Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli deriválttenzorának vagy differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.
Deriváltmátrix
Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) komponensleképezésenként. A df(u) lineáris leképezés (e1,e2,...,en) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Világos, hogy (df(u))(x)=A x. Először vegyük az A első sorvektorát, A1-et és az e1 egységvektor mentén tartunk u-hoz: x = u + te1. A df(u)-t definiáló határértékegyenlőség ekkor a következő alakot ölti:
azaz
vagyis f első koordinátafüggvényének f1-nek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi mátrixelemet ugyanígy:
amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.
Lineáris, konstans és affin függvény deriváltja
Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Tehát minden u ∈ Rn-re
Elégséges feltétel totális differenciálhatóságra
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható.
Dimenziótétel
A dimenziótétel az lineáris leképezések magterének és képterének dimenziója közötti szoros (kiegészítő jellegű) kapcsolatra mutat rá. Most csak az (Rn;Rm) leképezéseket vizsgáljuk (a tétel bármely végesdimenziós vektortérből tetszőleges vektortérbe menő lineáris függvényre is igaz.)
Magtér
Az A : Rn Rm lineáris leképezés magtere:
világos, hogy ez altér. Ugyanis altér jelemzhető úgy, mint olyan részhalmaz a térben, mely zárt az összeadásra és a skalárral történő szorzásra. De Ker(A) ilyen, mert tetszőleges u, v vektorra
és
Bázisát (Rn-ben) például az A leképezés [A] mátrixának Gauss-eliminációjával és az [A]x=0 homogén egyenletrendszer megoldásával nyerhetünk (példa itt).
Képtér
Az A : Rn Rm lineáris leképezés képtere:
világos, hogy ez altér. Ugyanis alkalmas v és u vektorokkal:
és
Bázisát (Rn-ben) például úgy nyerünk, hogy a A leképezés [A] mátrixának oszlopvektorai közül Gauss-eliminációval kiválasztjuk a legtöbb vektort tartalmazó lineárisan független rendszert (példa itt).
Tétel és bizonyítás
Dimenziótétel. Ha A : Rn Rm lineáris leképezés, akkor
Bizonyítás. Ha vesszük Ker(A) egy
bázisát (Ker(A) dimenziója tehát k) akkor világos, hogy a báziselemek képei által kifeszített
altér az Rm-beli triviális {0} altér. Világos, hogy ha veszük egy Ker(A)-n kívüli c vektort, akkor ez már nem képeződhet a {0}-ba. Megfogalmazhatjuk tehát azt a sejtést, hogy ha B-t kibővítíjük Rn bázisává, mondjuk a
független vektorrendszerrel, akkor C elemeinek képei Im(A) bázisát fogja adni. Ezt fogjuk igazolni, azaz hogy
és ami a tétel állítását igazolja: Im(A) dimenziója pont l.
1. Először belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } generátorrendszere Im(A)-nak. Legyen
Mivel B + C bázisa Rn-nek, ezért u előáll (egyértelmű módon)
alakban. De u képében a B-beliekkel előállíthatók a {0}-ba mennek, így már a C-ből jövő képek is előállítják Au-t:
2. Belátjuk, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } független vektorrendszer is, tehát dimenziója l.
Tegyük fel, hogy vannak ν1, ν2, ...,νl számok, melyekkel
A függetlenséghez az kell, hogy ν1, ν2, ...,νl-k mind nullák legyenek. Természetesen a bal oldalon kiemelhetünk A-t, tehát:
Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy ha az
rövidítéshez folyamodunk, akkor
azaz az u vektor B-beli elemekkel is és C-beli elemekkel is előállítható. De ez csak úgy lehet, hogy u=0, ami pedig csak akkor van, ha a ν1, ν2, ...,νl számok mind nullák.
Mindez azt jelenti, hogy { Ac1, Ac2, ...,Acl } bázis, amiből következik, hogy az általa kifeszített altér dimenziója l. De a kifeszített altér pont Im(A), így azt kaptuk, hogy
vagyis, amit be akartunk látni.
Megjegyzés. Világos, hogy a fenti bizonyításban a B által generál altér és a C által generált altér közös része a {0} (vagyis csak a 0-t állítják elő mindeketten). Ugyanis, ha lenne v ≠ 0, hogy
és közben
akkor mindkét egyenletben a skalárok között lenne nemnulla, és a két egyenletet kivonva egymásból hpnánk, hogy a 0 vektor előáll olyan B és C-beli elemek lineáris kombinációjaként, ahol az együtthatók között van nemnulla. Ez viszont az jelentené, hogy B + C nem független rendszer (holott B + C a B egy kibővítése az Rn bázisává).
Ilyenkor azt mondjuk, hogy a Rn vektorteret előállítottuk a B által kifeszített és a C által kifeszített alterek direkt összegeként:
Cauchy-féle gyökkritérium
Tétel. Legyen (an) valós számsorozat, ∑(an) pedig a belőle képezett sor. Ekkor
- ha , akkor ∑(an) abszolút konvergens
- ha , akkor ∑(an) divergens
Bizonyítás
1. Legyen
Ekkor s = limsup(cn) a lismesz szuperrior fogalmának deifíciója szerint az |an| sorozat elemeinek n-edik gyökeinek (cn) sorozatának legnagyobb sűrűsödési pontja. Sűrűsödési pont, azaz s minden környezetében van a (cn) sorozatnak végtelen sok eleme, és a legnagyobb, mert nincs nála nagyobb sűrűsödési helye (cn)-nek.
s < 1 miatt vehetünk egy q számot úgy, hogy
- s < q < 1
Ekkor s "limsupsága" miatt egy adott M természetes számot követő minden n-re:
hiszen ha lenne végtelen sok elem, melyre ez nem telhesülne, akkor lenne s nél nagyobb sűrűsödési pont is. Tehát
azaz
De a (qn) mértani sorozatból képezett sor konvergens (hisz |q|<1), így a majoráns kritérium miatt a
sor is konvergens (merthogy a szóbanforgó mértani sor majorálja). Eszerint ∑(an) abszolút konvergens.
2. A másik esetben, minthogy s = limsup(cn), van olyan részsorozata (cn)-nek melynek minden eleme 1-nél nagyobb egyenlő:
ekkor viszont
és
de a szükséges kritérium miatt ha (an) (és vele együtt az összes részsorozata) nem a 0-hoz tart, akkor ∑(an) nem konvergens, márpedig a fenti olyan részsorozata (an)-nek, mely nem tarthat a 0-hoz, így ∑(an) nem konvergens.
Megjegyzések. A bizonyításból kiderül, hogy a tétel állításának második pontjánál többet is állíthatunk. Ha ugyanis van olyan részsorozata (cn)-nek melynek minden eleme 1-nél nagyobb egyenlő, már akkor is állíthatjuk, hogy ∑(an) nem konvergens. Ám az nem igaz, hogy ha limsup(cn) 1, akkor ∑(an) nem konvergens, ellenpélda az
sor. Ez konverges, holott az n-edik gyökök sorozatának limesz szuperiorja 1.
Az előbb említett általános divergencia kritériumon túl azonban csak azt mondhatjuk, hogy ha limsup(cn) = 1, akkor további vizsgálatokat kell végeznünk, hogy döntésre juthassunk a konvergencia/divergencia kérdésében.