Szerkesztő:Mozo/A2 gyakorló feladatok 4

1

Oldja meg az

$\begin{matrix} x+2y+3z+2w&=&1 \\ y+z+w&=& 2\\ x+3y+4z+3w&=&3 \\ 2x+5y+4z+5w&=&4 \end{matrix}$

egyenletrendszert!

Megoldás

A kibővített mátrix:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 4 & 3 & 3\\ 2 & 5 & 7 & 5 & 2\\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

$\sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

Ebből a homogén:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

Az Ax = b inhomogén egyenletrendszer megoldása:

x = x_part + Ker(A)

Ehhez dim Ker(A) = 4 - dim Im(A) = 4 - 2 = 2, tehát kétdimenziós a mag: (x=-t+0s, y=-t-s, z=t+0s, w=0t+s vagy (I|B).(B/-I)=B-B=0)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$

A partikuláris: (-3, 2, 0, 0)

2

Legyen az A operátor R²-ben az y = -x egyenesre vett vetítés, B a 270°-os origó körüli forgatás. Írja fel a leképezések kompozícióinak mátrixát a sztenderd bázisra vonatkozóan. Diagonalizálja ezeket!

Megoldás

Az (1,0) báziselem képe az A által (1/2,-1/2) a (0,1)-é (-1/2,1/2), így:

$A= \begin{bmatrix} \;\;\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ & \\ -\frac{1}{2} & \;\;\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \;\;1 & -1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix}$

Valamint

$B= \begin{bmatrix} \;\;0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

Ekkor

$BA=\frac{1}{2}\cdot\begin{matrix} & \begin{bmatrix} \;\;1 & -1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix} \\ & \\ \begin{bmatrix} \;\;0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} \;\;1 & \;\;1\\ -1 & -1 \end{bmatrix} \\ & \\ & \\ & \\ \end{matrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \;\;1 & \;\;1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}$

illetve

$AB=\frac{1}{2}\cdot\begin{matrix} & \begin{bmatrix} \;\;0 & \;\;1\\ -1 & \;\;0 \end{bmatrix}\\ & \\ \begin{bmatrix} \;\;1 & -1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} -1 & \;\;1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix}\\ & \\ & \\ & \\ \end{matrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & \;\;1\\ -1 & \;\;1 \end{bmatrix}$

AB-t nézzük először:

$T=\begin{bmatrix} 1 & \;\;-1\\ 1 & \;\;1 \end{bmatrix}$

[AB]₂ = T ^{− 1}(AB)T

[BA]₂ = T ^{− 1}(BA)T

3

Tekintsük az

$f(x,y)=\frac{x^3y}{(x^2+y^2)^2}\,$

függvényt, ahol értelmezett, kiterjesztve

$f(0,0)=0\,$

-val. Határozzuk meg a parciális deriváltjait (ha vannak) és állapítsa meg, hogy ezek folytonosak-e az origóban!

Megoldás

$\partial_x f(0,0)\,$-hez $f(.,0)\,$-t kell vizsgálni. A pontbeli parciális derivált a 0-ban:

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{0-0}{x-0}=0$

ugyanígy az y-szerinti parciális derivált az origóban 0.

Máshol a függvény differenciálhatóakból van összetéve a differenciálhatóságot megőrző módon, így differenciálható. A deriváltfüggvények:

$\partial_x f(x,y)=\frac{3x^2y(x^2+y^2)^2-x^3y2(x^2+y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^4}=$

$=x^2y\frac{3(x^2+y^2)^2-4x^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^4}$

azt látjuk, hogy a számláló 7-odfokú, a nevező 8-ad, így lehet reményünk 1/x-szel az origóban a végtelenhez tartó részsorozat szerkeztésére. Valóban, közelítsük az origót az y = x egyenes mentén. Ekkor a hányados:

$\partial_x f(x,x)=x^2x\frac{3(x^2+x^2)^2-4x^2(x^2+x^2)}{(x^2+x^2)^4}$

$=\frac{x^3(3(2x^2)^2-8x^4)}{(2x^2)^4}=\frac{x^3(4x^4)}{(2x^2)^4}$

ami a 0-ban nem rendelkezik véges határértékkel. ∂_xf tehát nem folytonos az origóban.

4

Legyen $T=\{(x,y)\mid x\geq 0, \;x^2+y^2\leq 9\}$,

Legyen f(x,y) = xy⁶

$\int\limits_{T}f=?$

5

Konvergens-e? $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(1-\cos\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$

Abszolút konvergens-e? $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\sin(1/n^2)$

Egyenletesen konvergens-e? $f_n(x)=\frac{n}{1+nx^2},\;x>1$, $\lim\limits_{n}\int\limits_{1}^{\infty}f_n(x)?$

Megoldás

$f_n(x)=\frac{n}{1+nx^2}= \frac{1}{x^2+1/n}\to \frac{1}{x^2}$

$|r_n(x)|=\left|\frac{1}{x^2+1/n}-\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1/n}{(x^2+1/n)x^2}\leq\frac{1/n}{(1+1/n)}\leq\frac{1}{n}$

6

Find the Fourier series for $f(x) = x\,$ on $[0,1]\,$.

A general formula for the Fourier series of a function on an interval $[c,c+T]\,$ is:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\,$

$a_n = \frac{2}{T}\int_c^{c+T} f(x) \cos\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\,dx\,$

$b_n = \frac{2}{T}\int_c^{c+T} f(x) \sin\left(\frac{2n\pi x}{T}\right)\,dx\,$

In the current problem, $c = 0\,$ and $T=1\,$.

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos 2n\pi x + b_n \sin 2n\pi x\,$

The function $f(x)=x\,$ is odd, so the cosine coefficients will all equal zero. Nevertheless, $a_0\,$ should still be calculated separately.

$a_0 = 2 \int_0^1 x\,dx = 1\,$

$b_n = 2\int_0^1 x\sin(2n\pi x)\,dx\,$

$= 2\left(\left[\frac{-x \cos 2n\pi x}{2n\pi}\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{\cos 2n\pi x}{2n\pi}\,dx\right)\,$

$= \frac{-1}{n\pi} + \left[\frac{\sin 2n\pi x}{(2n\pi)^2}\right]_0^1 = \frac{-1}{n\pi}\,$

So the Fourier series for $f(x)\,$ is

$f(x) = \frac{1}{2} - \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\pi x}{n\pi}\,$