Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
86. sor: | 86. sor: | ||
'''4.''' Hol létezik határértéke az | '''4.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | ||
− | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\rightarrow_{r\to 0} 0</math>, akkor <math>f(x,y)\ | + | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\rightarrow_{r\to 0} 0</math>, akkor <math>f(x,y)\xrightarrow_{(x,y)\to (0,0)} 0</math> "rendőrelvet", ahol <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math>.) |
'''5.''' Hol létezik határértéke az | '''5.''' Hol létezik határértéke az |
A lap 2017. február 12., 23:58-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Iterált határérték
a)
b*)
c) HF
MO.
a)
b)
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy -t írunk.
Rendőrelv. Legyen és . Ha van olyan δ>0, hogy minden -ra
és és , akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan és sorozatok, hogy és , de vagy nem konvergensek, vagy ha igen, akkor .
Folytonosság. Legyen és . Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ha olyan, hogy , akkor pontosan akkor, ha .
1. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
2. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
3. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
4. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az , akkor Értelmezés sikertelen (formai hiba): f(x,y)\xrightarrow_{(x,y)\to (0,0)} 0
"rendőrelvet", ahol .)
5. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
6. Mik az iterált határértékei a (0,0) pontban a
függvénynek?
7. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
8. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
9. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
10. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |