Matematika A2a 2008/pótgyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Közös rész) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Generált altér) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | |||
+ | ==Lineáris leképezések== | ||
+ | |||
+ | ===Képtér, magtér=== | ||
+ | ''A'' magtere: | ||
+ | :<math>\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=_{\mathrm{def}}\{v\in \mathbf{R}^n\mid \mathcal{A}v=0\}</math> | ||
+ | Ez tényleg altér, mert ha '''v'', '''u'' ∈ Ker(''A''), akkor ''A'' '''v'''=''A'' '''u''' = '''0''' és | ||
+ | :<math>\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}=\lambda.\mathbf{0}+\mu.\mathbf{0}=\mathbf{0}</math> | ||
+ | A magtér az ''A'' injektivitásával van kapcsolatban. ''A'' injektív, ha | ||
+ | :<math>\mathcal{A}\mathbf{v}=\mathcal{A}\mathbf{u}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}=\mathbf{u}</math> | ||
+ | Azaz minden '''v''' - '''u''' alakú vektorra: | ||
+ | :<math>\mathcal{A}(\mathbf{v}-\mathbf{u})=\mathbf{0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}-\mathbf{u}=\mathbf{0}</math> | ||
+ | de minden vektor '''v''' - '''u''' alakú, ezért ez pontosan azt jelenti, hogy Ker(''A'')={0} a triviális altér. | ||
+ | |||
+ | ''A'' képtere: | ||
+ | :<math>\mathrm{Im}(\mathcal{A})=_{\mathrm{def}}\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in V_2\mid \mathbf{v}\in V_1\}=\{\mathbf{u}\in V_2\mid \exist \mathbf{v}\in V_1\quad \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{u}\}</math> | ||
+ | Ez szintén altér, mert ha vesszük két képtérbeli elem lineáris kombinációját, akkor szintén valamilyen elem képe. | ||
+ | :<math>\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}=\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})</math> | ||
+ | Ez a szűrjektivitással van kapcsolatban. ''A'' szűrjektív, ha | ||
+ | :<math>\forall \mathbf{u}\in V_2\quad\exist \mathbf{v}\in V_1\quad\mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{u}\,</math> | ||
+ | márpedig Im(''A'')=V<sub>2</sub> pontosan azt jelenti, hogy az érkezési halmaz minden vektora előáll képként. | ||
+ | |||
+ | A két altér dimenziója között szoros kapcsolat van: | ||
+ | |||
+ | '''Dimenziótétel'''. Ha ''A'' : <math>V_1</math> <math>\to</math> <math>V_2</math> véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés, akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathbf{A}) + \mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathbf{A}) = n</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Azt kell belátnunk, hogy Ker(''A'') egy bázisának száma + Im(''A'') egy bázisának száma = <math>V_1</math> egy bázisának száma. Legyen dim <math>V_1</math> = n és dim Ker(''A'') = k. Rögzítsük Ker(''A'') egy | ||
+ | :<math>B=\{b_1,...,b_k\}\,</math> | ||
+ | bázisát. Világos, hogy dim ''A''(<nowiki><B></nowiki>) = {0}, ezért a képtér nemnulla pontjaiba csak úgy juthatunk, ha <nowiki><B></nowiki>-n kívüli elemet választunk -- válasszunk annyit, mely az egész <math>V_1</math>-et generálja, egészítsük ki B-t a <math>V_1</math> egy bázisává a C halmaz hozzávételével: | ||
+ | :<math>B\cup C=\{b_1,...,b_k,c_1,...,c_l\}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ezek speciális tulajdonsága, hogy | ||
+ | |||
+ | :<math>\langle B\rangle\oplus \langle C\rangle=V_1</math> | ||
+ | |||
+ | azaz közösen kifeszítik a <math>V_1</math>-et és a kifeszített alterek közös része a {0}. Ugyanis, ha '''v''' ∈ <nowiki><B></nowiki>∩<nowiki><C></nowiki>, akkor | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathbf{v}=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k</math> | ||
+ | és | ||
+ | :<math>\mathbf{v}=\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l</math> | ||
+ | akkor ezeket kivonva: | ||
+ | :<math>\mathbf{0}=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k-\mu_1c_1-\mu_2c_2-...-\mu_lc_l</math> | ||
+ | Amiből a BUC függetlensége miatt következik: | ||
+ | :<math>0=\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_k=\mu_1=\mu_2=...=\mu_l</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ekkor a D={ ''A''c<sub>1</sub>, ''A''c<sub>2</sub>, ...,''A''c<sub>''l''</sub> } vektorrendszer bázisa lesz Im(''A'')-nak. Ugyanis | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 1. D kifeszíti Im(''A'')-t. Egy | ||
+ | :<math>u=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l\,</math> | ||
+ | elemmel: | ||
+ | :<math>\mathcal{A}u=\mathcal{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k+\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=</math> | ||
+ | :<math>=\mathcal{A}(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+...+\lambda_kb_k)+\mathcal{A}(\mu_1c_1+\mu_2c_2+...+\mu_lc_l)=</math> | ||
+ | :<math>=0+\mu_1.\mathcal{A}c_1+\mu_2.\mathcal{A}c_2+...+\mu_l.\mathcal{A}c_l</math> | ||
+ | 2. D lineárisan független. Ha ugyanis | ||
+ | :<math>\nu_1\mathcal{A}c_1+\nu_2\mathcal{A}c_2+...+\nu_l\mathcal{A}c_l=0</math> | ||
+ | akkor | ||
+ | :<math>\mathcal{A}(\nu_1.c_1+\nu_2.c_2+...+\nu_l.c_l)=0</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | :<math>\nu_1.c_1+\nu_2.c_2+...+\nu_l.c_l\in Ker(\mathcal{A})\cap \langle C\rangle=\{0\}</math> | ||
+ | :<math>0=\nu_1=\nu_2=...=\nu_l\,</math> | ||
+ | ===Főtengelytétel=== | ||
+ | Az '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>n</sup> leképezést szimmetrikusnak nevezünk, ha a szenderd bázisban szimmetrikus a mátrixa. Ekkor minden ortonormált bázisban is szimmetrikus lesz a mártixa. Ezek között a bázisok között az átváltó mátrix ortogonális, azaz | ||
+ | :<math>O\cdot O^{\mathrm{T}}=I</math> | ||
+ | Értelmezhető leképezés transzponáltja is, mert ortnormált bázisok közötti átváltás invariáns a transzponálásra. Általában az átváltott mátrix: | ||
+ | :<math>TAT^{-1}\,</math> | ||
+ | alakú. Ortogonális transzformáció esetén pedig | ||
+ | :<math>(OAO^{\mathrm{T}})^{\mathrm{T}}=(O^\mathrm{T})^\mathrm{T}(OA)^{\mathrm{T}}=OA^{\mathrm{T}}O^{\mathrm{T}}\,</math> | ||
+ | Ekkor a szimmetria pont azt jelenti, hogy ''A''=''A''<sup>T</sup>. | ||
+ | |||
+ | '''Főtengelytétel.''' Szimmetrikus leképezés sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható csupa valós sajátértékekkel. | ||
==Generált altér == | ==Generált altér == | ||
+ | 20. fejezet 17, 21, 30, 39, 45, 44, 60, 19. fejezet 38, 42 (csak a 3x3-as eset), 73. | ||
+ | |||
Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát! | Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát! | ||
:<math>\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}-2 \\-4\\1\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}3 \\7\\-1\end{pmatrix}</math> | :<math>\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}-2 \\-4\\1\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}3 \\7\\-1\end{pmatrix}</math> | ||
207. sor: | 282. sor: | ||
:<math>W_1\cap W_2</math> | :<math>W_1\cap W_2</math> | ||
altér V-ben és | altér V-ben és | ||
− | :<math>\dim(W_1\cap W_2) | + | :<math>\dim(W_1\cap W_2)\leq\min\{\dim W_1,\dim W_2\}</math> |
Igazoljuk, hogy ha <math>\dim V=40</math>, <math>\dim W_1=23</math> és <math>\dim W_2=18</math>, akkor <math>W_1\cap W_2\ne \{0\}</math> | Igazoljuk, hogy ha <math>\dim V=40</math>, <math>\dim W_1=23</math> és <math>\dim W_2=18</math>, akkor <math>W_1\cap W_2\ne \{0\}</math> | ||
A lap jelenlegi, 2014. március 10., 07:24-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Lineáris leképezések
Képtér, magtér
A magtere:
Ez tényleg altér, mert ha v, u ∈ Ker(A), akkor A v=A u = 0 és
A magtér az A injektivitásával van kapcsolatban. A injektív, ha
Azaz minden v - u alakú vektorra:
de minden vektor v - u alakú, ezért ez pontosan azt jelenti, hogy Ker(A)={0} a triviális altér.
A képtere:
Ez szintén altér, mert ha vesszük két képtérbeli elem lineáris kombinációját, akkor szintén valamilyen elem képe.
Ez a szűrjektivitással van kapcsolatban. A szűrjektív, ha
márpedig Im(A)=V2 pontosan azt jelenti, hogy az érkezési halmaz minden vektora előáll képként.
A két altér dimenziója között szoros kapcsolat van:
Dimenziótétel. Ha A : V1 V2 véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés, akkor
Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy Ker(A) egy bázisának száma + Im(A) egy bázisának száma = V1 egy bázisának száma. Legyen dim V1 = n és dim Ker(A) = k. Rögzítsük Ker(A) egy
bázisát. Világos, hogy dim A(<B>) = {0}, ezért a képtér nemnulla pontjaiba csak úgy juthatunk, ha <B>-n kívüli elemet választunk -- válasszunk annyit, mely az egész V1-et generálja, egészítsük ki B-t a V1 egy bázisává a C halmaz hozzávételével:
Ezek speciális tulajdonsága, hogy
azaz közösen kifeszítik a V1-et és a kifeszített alterek közös része a {0}. Ugyanis, ha v ∈ <B>∩<C>, akkor
és
akkor ezeket kivonva:
Amiből a BUC függetlensége miatt következik:
- 0 = λ1 = λ2 = ... = λk = μ1 = μ2 = ... = μl
Ekkor a D={ Ac1, Ac2, ...,Acl } vektorrendszer bázisa lesz Im(A)-nak. Ugyanis
1. D kifeszíti Im(A)-t. Egy
elemmel:
2. D lineárisan független. Ha ugyanis
akkor
azaz
Főtengelytétel
Az Rn Rn leképezést szimmetrikusnak nevezünk, ha a szenderd bázisban szimmetrikus a mátrixa. Ekkor minden ortonormált bázisban is szimmetrikus lesz a mártixa. Ezek között a bázisok között az átváltó mátrix ortogonális, azaz
Értelmezhető leképezés transzponáltja is, mert ortnormált bázisok közötti átváltás invariáns a transzponálásra. Általában az átváltott mátrix:
alakú. Ortogonális transzformáció esetén pedig
Ekkor a szimmetria pont azt jelenti, hogy A=AT.
Főtengelytétel. Szimmetrikus leképezés sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható csupa valós sajátértékekkel.
Generált altér
20. fejezet 17, 21, 30, 39, 45, 44, 60, 19. fejezet 38, 42 (csak a 3x3-as eset), 73.
Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát!
- , , ,
Megoldás
A vektorok az R3 térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha A-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az
- Ax = 0
homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Ebből nem csak azt tudjuk majd meg, hogy lineárisan függetlenek-e (hiszen pontosan tudjuk, hogy nem azok, mert ), hanem hogy hány független választható ki, vagyis az A ragját, r(A)-t. A-t Gauss-algoritmussal átalakítva:
A megoldás: az utolsó két változó paraméternek vehető, mondjuk t és s, így kiírva az egyenletrendszert:
- , azaz
innen
a megoldás. Tehát minden t, s-re fennáll:
Ezekből világosan látható, hogy az első két vektor bázisnak választható, mert a 3. és 4. kifejezhető, rendre t=1, s=0 választással, majd t=0, s=1 választással.
Tehát:
- és az altér egy bázisa:
Képtér
Mi az
mátrix képterének dimenziója? Adja meg a képteret egyenlettel (hipersík egyenletével)! Adja meg a képteret egy alkalmas mátrix magtereként!
Megoldás
Az A-val való szorzás leképezése R3-ból képez R4-be. A képtér elvileg lehetne 4 dimenziós, ám a dimenziótétel szerint dim Ker A + dim Im A = dim R3, így dim Im A legfeljebb 3. Ez már csak azért is igaz, mert a mátrix oszloprangla egyenlő a sorrangjával, ami legfeljebb 3.
Világos, hogy a mátrix oszlopai elemei a képtérnek, ugyanis vannak olyan
oszlopvektorok, melyek szorzata a mátrixal pontosan az oszlopvektorokat adja az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) sztenderd bázis R3-ban, ezekkel rendre beszorozva a mátrixot, az oszlopokat kapjuk. A kérdés, hogy generálják-e ezek a képteret, és hogy függetlenek-e. A generátorrendszerségre nyilván igen a válasz:
Gauss-eliminációval kiderül, hogy ezek a vektorok függetlenek is, így bázist alkotnak a képtérben.
A képtér hipersíkja R4-nek, ennek egyenletét a képtér definícíójának segítségével, majd Gauss-módszerrel adjuk meg.
A kibővített együtthatómátrix:
ez pontosan akkor megoldható, ha teljesül az
- , azaz
egyenlőség (homogén lineáris egyenletrendszer) az y vektorra.
Az ezt kielégítő vektorok pontosan az (1,-1,0,1) mártix magterét alkotják-
A képtérnek egy újabb bázisát is megadhatjuk: y=t, z=r, v=s,
- , tehát dim = 3 és a bázis:
Magtér
Mi az
magterének dimenziója és adja meg egy bázisát!
Megoldás
Az A mátrix magtere praktikusan az A x = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alkotta lineáris altér, egyenletrendszeres formában:
Előzetesen, próbáljuk meg a szituációt geometriailag elképzelni! A két egyenlet egy-egy hipersík az R4 térben, azaz két 3 dimenziós altér. Ezek metszete a feladat, azaz egy kétdimenziós altér, azaz egy geometiai sík. Azt várjuk tehát, hogy a feladat megoldása 2 dimenziós eltér lesz. Persze, ettől még lehet hogy a feladat nem a tipikus helyzetet adja, így "vakon" csak azt mondhatjuk, hogy a keresett dimenziószám legfeljebb 4.
Gauss-eliminációhoz folyamodunk:
Szintén két változó paramétenek vehető (v = s, z = t), így a megoldás visszafejtve:
innen
a megoldásvektor az alábbi, mely előáll a következő két vektor lineáris kombinációjaként:
Azaz a magtér a fenti két kihozott vektor által generált altér. Ezek persze nyilvánvalóan nem összefüggők az alsó két sor sztenderd bázisra utaló alakja miatt (az 1-es sehogy se jöhet ki a 0-ból).
Tehát
- és a magtér egy bázisa:
Feladatok alterekre
Közös rész
Igazoljuk, hogy ha W1 és W2 altér V-ben, akkor
altér V-ben és
Igazoljuk, hogy ha , és , akkor
Alterek által kifeszített altér
Igazoljuk, hogy ha W1 és W2 altér V-ben, akkor
Igazoljuk, hogy ha , akkor
ugyanis mindig
Síkbeli leképezések
Írjuk fel a +45°-os forgatás F és az y-tengelyre tükrözés T operátorának mátrixait, determinánsait, a kompozícióik mátrixait és determinánsait, és az inverzeiket és ezek determinánsait!
Térbeli leképezés mátrixa, sajátérték probléma
Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
Megoldás
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel.
Tudjuk, hogy az s nemnulla vektor pontosan akkor sajátvektor, ha létezik hozzá λ skalár (sajátérték), hogy
A sajátvektorokat a számítás helyett a szemléletünkre bízva adjuk meg. Világos, hogy a sajtvektorok a sík vektorai λ = 1 sajátértékkel és a síkra merőleges origón áthaladó egyenes vektorai λ = -1 sajátértékkel.
Ortogonális sajátvektorokból álló bázist megadhatunk, ha vesszük a normálvektort: (1,-1,1), a síknak egy tetszőleges vektorát: (1/2,1,1/2), és vektoriálisan összeszorozzuk őket: (-3/2,0,+3/2). Ekkor ezek bázist alkotnak és ebben a bázisban a leképezés mátrixa a (-1,1,1) elemeket a főátlóban tartalmazó diagonális mátrix (az elemek pont a sajátértékek).
Paraméteres egyenletrendszer
1.
megoldható pontosan akkor, ha a-1=0 esetén, b=0 és a-1 0 esetén b bármilyen. Az első esetben végtelen sok megoldás, a másodikban 1, tehát:
- 0 megoldás, ha (a,b) ∈ {1} × R\{0}, mert ekkor 0x+0y+0z=b 0 ellentomodó egyenlet
- 1 megoldás, ha (a,b) ∈ R\{1} × R, mert ekkor det A 0
- ∞ megoldás, ha (a,b)=(1,0), mert ekkor det A = 0 és nem ellentmondó az alsó egyenlet: 0x+0y+0z=0Mozo 2008. március 10., 10:22 (CET)
2.
Diszkusszió:
1) Van megoldás pontosan akkor, ha és b bármilyen vagy a = 0 és b = -1 (ekkor az ehómátrix és a kibővített mátrix rangja egyenlő (3 ill. 2). 2) Ha van megoldás, akkor ez előbb említett első esetben 1 db megoldás van, az utóbb említett esetben végtelen sok. Mozo 2008. március 12., 14:57 (CET)
Paraméteres determináns
Milyen c-re nulla az alábbi determináns értéke?
- a 2. oszlop csupa 1, és a többiben is van sok egyes, tehát érdemes levonni a 2. oszlopot a többiből:
- a 2. sorban egy db 1-es lett, fejtsük ki eszerint:
- ha levonjuk az 1. oszlopot a 3-ból, akkor eltűnik a -2:
3. gyakorlat | 4. gyakorlat |