Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Kompakt halmazon folytonos függvények) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Bolzano-Weierstrass-tételkör) |
||
53. sor: | 53. sor: | ||
==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ||
− | ''' | + | '''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. |
− | ''' | + | '''Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. |
− | ''' | + | ''Bizonyítás.'' Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni. |
'''Bolzano-Weierstrass-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt. | '''Bolzano-Weierstrass-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt. | ||
− | ''' | + | '''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t. |
− | ''' | + | '''Heine-Borel-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz kompakt. |
− | + | '''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság. | |
'''R'''<sup>n</sup> véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis <math>\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}</math> a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum: | '''R'''<sup>n</sup> véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis <math>\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}</math> a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum: | ||
73. sor: | 73. sor: | ||
"gömb" nem kompakt. | "gömb" nem kompakt. | ||
Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok <math>\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}</math> terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező <math>\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}</math> tér bír jelentőséggel. | Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok <math>\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}</math> terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező <math>\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}</math> tér bír jelentőséggel. | ||
+ | |||
==Cauchy-sorozatok== | ==Cauchy-sorozatok== | ||
A normált térbeli (<math>a_n</math>) sorozat '''Cauchy-sorozat''', ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. | A normált térbeli (<math>a_n</math>) sorozat '''Cauchy-sorozat''', ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. |
A lap 2008. február 21., 19:00-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Komponenssorozatok Rm-ben
(an):Z+ Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.
Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra
amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.
Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:
ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re
azaz
- ,
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
Példák
1. R2-ben.
Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:
- 1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
- 2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
Tehát a határérték a mert itt konstans + (nullához tartó korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.
2. B[a,b]-ben.
Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:
azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.
2.1. B[-1000,+1000]-ben az
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.
2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.
3. Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
Bolzano-Weierstrass-tételkör
Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.
Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Bizonyítás. Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.
Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.
Cauchy-sorozatok
A normált térbeli (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.
RN-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy RN teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk teljesnek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.
Vannak nemteljes normált terek. , a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a
sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott ε > 0-hoz található olyan N, hogy N < n1, n2 indexűek különbsége kisebb ε, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában
Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.
Kompakt halmazon folytonos függvények
Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
- (Ha f ∈ C(Rn,R), Dom(f) kompakt, akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f) )
Bizonyítás. Korlátosság a Heine-Borel-tételből, a szélsőértékek felvétele a szokásos g(x,y)= sup(f) − f(x,y) definíciójú függvény korlátosságából.
Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.
- (Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)
Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.
Tétel (Heine) Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos.
Bizonyítás. Heine-Borel-tételből.
Feladat
Igazoljuk, hogy a ([0,1] × [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő R2-ben.
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |