Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→1.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
===9.=== | ===9.=== | ||
:<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <center> | ||
+ | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
+ | |- bgcolor="#efefef" | ||
+ | ||[[Matematika A2a 2008/2. gyakorlat |2. gyakorlat]] || [[Matematika A2a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]] | ||
+ | |} | ||
+ | </center> |
A lap 2008. március 6., 22:57-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a gyakorlaton konkrét függvények folytonosságát és határértékét vizsgáljuk meg.
Tartalomjegyzék |
Határértékfeladatok
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?
1.
-
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
2.
-
- Megoldás.
- Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
- Megoldás.
3.
-
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
4.
5.
6.
7.
8.
-
- (Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
9.
2. gyakorlat | 4. gyakorlat |