Bolzano–Weierstrass-tételkör
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kompakt halmazok és H–B-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kompakt halmazok és H–B-tétel) |
||
80. sor: | 80. sor: | ||
'''<big>H</big>EINE–<big>B</big>OREL-TÉTEL.''' '''R'''<sup>N</sup>-ben korlátos és zárt halmaz kompakt. | '''<big>H</big>EINE–<big>B</big>OREL-TÉTEL.''' '''R'''<sup>N</sup>-ben korlátos és zárt halmaz kompakt. | ||
+ | |||
+ | ===Cantor-tétellel=== | ||
+ | A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''α'', ''β'' ∈ ''A'' indexre létezik olyan ''γ'' ∈ ''A'' index, hogy F<sub>''γ''</sub> ⊆ F<sub>''α''</sub>∩F</sub>''β''</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer metszete nem üres. | ||
+ | |||
+ | Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''α'' ∈ ''A''-ra: | ||
+ | :<math>F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i</math> | ||
+ | Ekkor a <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt '''R'''-ben és tetszőleges ''α'', ''β'' ∈ ''A''-ra a ''γ'' := ''α'' U ''β'' elem olyan, hogy F<sub>''γ''</sub> ⊆ F<sub>''α''</sub>∩F</sub>''β''</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan ''α''∈''A'', hogy F<sub>''α''</sub> ≠ ∅, ugyanis ekkor | ||
+ | :<math>K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i</math> | ||
+ | teljesülne. | ||
+ | |||
+ | Ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy | ||
+ | :<math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset</math> | ||
+ | ami ellentmondás, hiszen <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy | ||
+ | : <math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''α''∈''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz. | ||
+ | |||
+ | ===Bolzano–Weierstrass-tétellel=== | ||
+ | Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha Ω<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> ∈ ''K'' \ Ω<sub>1</sub>. Ha Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> ∈ ''K'' \ (Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van. | ||
+ | |||
+ | Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon). | ||
+ | |||
+ | === Kapcsolatok=== | ||
'''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság. | '''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság. |
A lap 2008. május 22., 10:18-kori változata
A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rn jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.
Tartalomjegyzék |
Sorozatkompaktság és B–W-tétel
A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő.
Egy K részhalmaz sorozatkompakt RN-ben (vagy még általánosabban egy M metrikus térben), ha minden a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:
- K sorozatkompakt
A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel RN-ben:
BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
Az egyváltozós eset
Bizonyítás csúcselemmel
Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.
Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. ak-t csúcselemnek nevezzük, ha minden esetén . (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)
Ekkor két eset lehetséges:
- Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha indexek, melyekre csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
- Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n0, hogy minden n > n0 esetén an nem csúcselem.
- De nem csúcselem, vagyis létezik n1 > n0, hogy .
- De nem csúcselem, vagyis létezik n2 > n1, hogy stb.
Ekkor viszont nyilván szigorúan monoton növő sorozat.
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re:
ahol (δn) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy an-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x ∈ [a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.
Többváltozós eset
Bizonyítás
Megjegyzések. A csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs RN-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R2-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.
A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.
Bizonyítás. Legyen
egy N komponensű sorozat, mely korlátos RN-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az
sorozathoz létezik σ1 indexsorozat úgy, hogy az
konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a
sorozatnak is van
konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a
sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek σ1, σ2, ..., σN indexsorozatok, hogy a
sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re
is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az
sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A
tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki (an)-ből.
Kompakt halmazok és H–B-tétel
A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk.
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
HEINE–BOREL-TÉTEL. RN-ben korlátos és zárt halmaz kompakt.
Cantor-tétellel
A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az halmazrendszer metszete nem üres.
Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:
Ekkor a halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy Fα ≠ ∅, ugyanis ekkor
teljesülne.
Ha minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy
ami ellentmondás, hiszen definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy
Tehát van -nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.
Bolzano–Weierstrass-tétellel
Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ωi)i=1∞. Definiálunk egy K-ban haladó (xn) sorozatot. Ha Ω1 lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω1 nem fedi le K-t, legyen x1 ∈ K \ Ω1. Ha Ω1 ∪ Ω2 már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x2 ∈ K \ (Ω1 ∪ Ω2). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ωi)i=1n már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ K sűrűsödési pontja. Mivel (Ωi)i=1∞ lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. (xn) konstrukciója szerint minden n-re (Ωi)i=1n-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ωm-ben is végtelen sok tag van.
Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ωi)i=1∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).
Kapcsolatok
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.