Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorozatok konvergenciája normált térben) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komponenssorozatok '''R'''<sup>m</sup>-ben) |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens. | azaz mindegyik komponenessorozata konvergens. | ||
− | Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges &; | + | Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { <math>N_i</math>} (i=1...m) természetes számok, hogy: |
+ | : <math>\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon</math> | ||
+ | ha tehát N= max{<math>N_i</math>}, akkor minden n > N-re | ||
+ | : <math>|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon</math> | ||
+ | azaz | ||
+ | : <math>\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon</math>, | ||
+ | azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A<sup>(1)</sup> , A<sup>(2)</sup>, ... , A<sup>(m)</sup>) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is. | ||
+ | |||
===Példák=== | ===Példák=== | ||
'''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. | '''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. |
A lap 2008. február 20., 20:42-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Komponenssorozatok Rm-ben
(an):Z+ Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.
Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra
amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.
Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:
ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re
azaz
- ,
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
Példák
1. R2-ben.
Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:
- 1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
- 2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
Tehát a határérték a mert itt konstans + (nullához tartó korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.
2. B[a,b]-ben.
Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:
azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.
2.1. B[-1000,+1000]-ben az
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.
2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.
3. Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
Bolzano-Weierstrass-tételkör
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.
Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.
Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Ha még azt a tényt is hozzávesszük, hogy egy H halmaz pontosan akkor zárt, ha minden benne haladó konvergens sorozatnak a határértéke is benne van, akkor világos, hogy mi a kapcsolat a két utóbbi tétel között.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt. Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.
Cauchy-sorozatok
A normált térbeli (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.
RN-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy RN teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk teljesnek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.
Vannak nemteljes normált terek. , a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a
sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott ε > 0-hoz található olyan N, hogy N < n1, n2 indexűek különbsége kisebb ε, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában
Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.
- 1. feladat: Igazoljuk, hogy az
leképezés folytonos a 0 pontban.
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |