Matematika A2a 2008/pótgyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
− | == | + | ==Generált altér == |
Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát! | Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát! | ||
:<math>\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}-2 \\-4\\1\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}3 \\7\\-1\end{pmatrix}</math> | :<math>\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}-2 \\-4\\1\end{pmatrix}</math>, <math>\begin{pmatrix}3 \\7\\-1\end{pmatrix}</math> | ||
− | + | ===Megoldás=== | |
A vektorok az '''R'''<sup>3</sup> térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha '''A'''-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az | A vektorok az '''R'''<sup>3</sup> térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha '''A'''-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az | ||
:'''A'''<math>\cdot</math>'''x''' = '''0''' | :'''A'''<math>\cdot</math>'''x''' = '''0''' | ||
202. sor: | 202. sor: | ||
1 | 1 | ||
\end{pmatrix}\right\}</math> | \end{pmatrix}\right\}</math> | ||
+ | ==Leképezés mátrixa, sajátérték probléma== | ||
+ | Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ '''R'''<sup>3</sup> | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert! | ||
+ | |||
+ | ===Megoldás=== | ||
+ | |||
+ | A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása: | ||
+ | :<math>\mathbf{r}\mapsto \mathbf{r}-\frac{2(\mathbf{n}\mathbf{r})\mathbf{n}}{\mathbf{n}^2}</math> | ||
+ | ahol '''n''' a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei: | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} - \frac{2}{3}\cdot 1\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} - \frac{2}{3}\cdot (-1)\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} - \frac{2}{3}\cdot 1\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}</math> | ||
+ | A mátrix: | ||
+ | :<math>\frac{1}{3}\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & -2\\ | ||
+ | 2 & 1 & 2\\ | ||
+ | -2 & 2 & 1 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel, | ||
209. sor: | 227. sor: | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
|- bgcolor="#efefef" | |- bgcolor="#efefef" | ||
− | ||[[Matematika A2a 2008/ | + | ||[[Matematika A2a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]] || [[Matematika A2a 2008/4. gyakorlat |4. gyakorlat]] |
|} | |} | ||
</center> | </center> |
A lap 2008. március 12., 16:17-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Generált altér
Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát!
- , , ,
Megoldás
A vektorok az R3 térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha A-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az
- Ax = 0
homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Ebből nem csak azt tudjuk majd meg, hogy lineárisan függetlenek-e (hiszen pontosan tudjuk, hogy nem azok, mert ), hanem hogy hány független választható ki, vagyis az A ragját, r(A)-t. A-t Gauss-algoritmussal átalakítva:
A megoldás: az utolsó két változó paraméternek vehető, mondjuk t és s, így kiírva az egyenletrendszert:
- , azaz
innen
a megoldás. Tehát minden t, s-re fennáll:
Ezekből világosan látható, hogy az első két vektor bázisnak választható, mert a 3. és 4. kifejezhető, rendre t=1, s=0 választással, majd t=0, s=1 választással.
Tehát:
- és az altér egy bázisa:
Képtér
Mi az
mátrix képterének dimenziója? Adja meg a képteret egyenlettel (hipersík egyenletével)! Adja meg a képteret egy alkalmas mátrix magtereként!
Megoldás
Az A-val való szorzás leképezése R3-ból képez R4-be. A képtér elvileg lehetne 4 dimenziós, ám a dimenziótétel szerint dim Ker A + dim Im A = dim R3, így dim Im A legfeljebb 3. Ez már csak azért is igaz, mert a mátrix oszloprangla egyenlő a sorrangjával, ami legfeljebb 3.
Világos, hogy a mátrix oszlopai elemei a képtérnek, ugyanis vannak olyan
oszlopvektorok, melyek szorzata a mátrixal pontosan az oszlopvektorokat adja az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) sztenderd bázis R3-ban, ezekkel rendre beszorozva a mátrixot, az oszlopokat kapjuk. A kérdés, hogy generálják-e ezek a képteret, és hogy függetlenek-e. A generátorrendszerségre nyilván igen a válasz:
Gauss-eliminációval kiderül, hogy ezek a vektorok függetlenek is, így bázist alkotnak a képtérben.
A képtér hipersíkja R4-nek, ennek egyenletét a képtér definícíójának segítségével, majd Gauss-módszerrel adjuk meg.
A kibővített együtthatómátrix:
ez pontosan akkor megoldható, ha teljesül az
- , azaz
egyenlőség (homogén lineáris egyenletrendszer) az y vektorra.
Az ezt kielégítő vektorok pontosan az (1,-1,0,1) mártix magterét alkotják-
A képtérnek egy újabb bázisát is megadhatjuk: y=t, z=r, v=s,
- , tehát dim = 3 és a bázis:
3. magtér
Mi az
magterének dimenziója és adja meg egy bázisát!
Megoldás
Az A mátrix magtere praktikusan az A x = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alkotta lineáris altér, egyenletrendszeres formában:
Előzetesen, próbáljuk meg a szituációt geometriailag elképzelni! A két egyenlet egy-egy hipersík az R4 térben, azaz két 3 dimenziós altér. Ezek metszete a feladat, azaz egy kétdimenziós altér, azaz egy geometiai sík. Azt várjuk tehát, hogy a feladat megoldása 2 dimenziós eltér lesz. Persze, ettől még lehet hogy a feladat nem a tipikus helyzetet adja, így "vakon" csak azt mondhatjuk, hogy a keresett dimenziószám legfeljebb 4.
Gauss-eliminációhoz folyamodunk:
Szintén két változó paramétenek vehető (v = s, z = t), így a megoldás visszafejtve:
innen
a megoldásvektor az alábbi, mely előáll a következő két vektor lineáris kombinációjaként:
Azaz a magtér a fenti két kihozott vektor által generált altér. Ezek persze nyilvánvalóan nem összefüggők az alsó két sor sztenderd bázisra utaló alakja miatt (az 1-es sehogy se jöhet ki a 0-ból).
Tehát
- és a magtér egy bázisa:
Leképezés mátrixa, sajátérték probléma
Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
Megoldás
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel,
3. gyakorlat | 4. gyakorlat |