Matematika A2a 2008/pótgyakorlat
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Generált altér
Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát!
- , , ,
Megoldás
A vektorok az R3 térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha A-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az
- Ax = 0
homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Ebből nem csak azt tudjuk majd meg, hogy lineárisan függetlenek-e (hiszen pontosan tudjuk, hogy nem azok, mert ), hanem hogy hány független választható ki, vagyis az A ragját, r(A)-t. A-t Gauss-algoritmussal átalakítva:
A megoldás: az utolsó két változó paraméternek vehető, mondjuk t és s, így kiírva az egyenletrendszert:
- , azaz
innen
a megoldás. Tehát minden t, s-re fennáll:
Ezekből világosan látható, hogy az első két vektor bázisnak választható, mert a 3. és 4. kifejezhető, rendre t=1, s=0 választással, majd t=0, s=1 választással.
Tehát:
- és az altér egy bázisa:
Képtér
Mi az
mátrix képterének dimenziója? Adja meg a képteret egyenlettel (hipersík egyenletével)! Adja meg a képteret egy alkalmas mátrix magtereként!
Megoldás
Az A-val való szorzás leképezése R3-ból képez R4-be. A képtér elvileg lehetne 4 dimenziós, ám a dimenziótétel szerint dim Ker A + dim Im A = dim R3, így dim Im A legfeljebb 3. Ez már csak azért is igaz, mert a mátrix oszloprangla egyenlő a sorrangjával, ami legfeljebb 3.
Világos, hogy a mátrix oszlopai elemei a képtérnek, ugyanis vannak olyan
oszlopvektorok, melyek szorzata a mátrixal pontosan az oszlopvektorokat adja az (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) sztenderd bázis R3-ban, ezekkel rendre beszorozva a mátrixot, az oszlopokat kapjuk. A kérdés, hogy generálják-e ezek a képteret, és hogy függetlenek-e. A generátorrendszerségre nyilván igen a válasz:
Gauss-eliminációval kiderül, hogy ezek a vektorok függetlenek is, így bázist alkotnak a képtérben.
A képtér hipersíkja R4-nek, ennek egyenletét a képtér definícíójának segítségével, majd Gauss-módszerrel adjuk meg.
A kibővített együtthatómátrix:
ez pontosan akkor megoldható, ha teljesül az
- , azaz
egyenlőség (homogén lineáris egyenletrendszer) az y vektorra.
Az ezt kielégítő vektorok pontosan az (1,-1,0,1) mártix magterét alkotják-
A képtérnek egy újabb bázisát is megadhatjuk: y=t, z=r, v=s,
- , tehát dim = 3 és a bázis:
Magtér
Mi az
magterének dimenziója és adja meg egy bázisát!
Megoldás
Az A mátrix magtere praktikusan az A x = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alkotta lineáris altér, egyenletrendszeres formában:
Előzetesen, próbáljuk meg a szituációt geometriailag elképzelni! A két egyenlet egy-egy hipersík az R4 térben, azaz két 3 dimenziós altér. Ezek metszete a feladat, azaz egy kétdimenziós altér, azaz egy geometiai sík. Azt várjuk tehát, hogy a feladat megoldása 2 dimenziós eltér lesz. Persze, ettől még lehet hogy a feladat nem a tipikus helyzetet adja, így "vakon" csak azt mondhatjuk, hogy a keresett dimenziószám legfeljebb 4.
Gauss-eliminációhoz folyamodunk:
Szintén két változó paramétenek vehető (v = s, z = t), így a megoldás visszafejtve:
innen
a megoldásvektor az alábbi, mely előáll a következő két vektor lineáris kombinációjaként:
Azaz a magtér a fenti két kihozott vektor által generált altér. Ezek persze nyilvánvalóan nem összefüggők az alsó két sor sztenderd bázisra utaló alakja miatt (az 1-es sehogy se jöhet ki a 0-ból).
Tehát
- és a magtér egy bázisa:
Feladatok alterekre
Közös rész
Igazoljuk, hogy ha W1 és W2 altér V-ben, akkor
altér V-ben és
Igazoljuk, hogy ha , és , akkor
Alterek által kifeszített altér
Igazoljuk, hogy ha W1 és W2 altér V-ben, akkor
Igazoljuk, hogy ha , akkor
ugyanis mindig
Síkbeli leképezések
Írjuk fel a +45°-os forgatás F és az y-tengelyre tükrözés T operátorának mátrixait, determinánsait, a kompozícióik mátrixait és determinánsait, és az inverzeiket és ezek determinánsait!
Térbeli leképezés mátrixa, sajátérték probléma
Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R3 | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!
Megoldás
A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:
ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:
A mátrix:
ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel.
Tudjuk, hogy az s nemnulla vektor pontosan akkor sajátvektor, ha létezik hozzá λ skalár (sajátérték), hogy
A sajátvektorokat a számítás helyett a szemléletünkre bízva adjuk meg. Világos, hogy a sajtvektorok a sík vektorai λ = 1 sajátértékkel és a síkra merőleges origón áthaladó egyenes vektorai λ = -1 sajátértékkel.
Ortogonális sajátvektorokból álló bázist megadhatunk, ha vesszük a normálvektort: (1,-1,1), a síknak egy tetszőleges vektorát: (1/2,1,1/2), és vektoriálisan összeszorozzuk őket: (-3/2,0,+3/2). Ekkor ezek bázist alkotnak és ebben a bázisban a leképezés mátrixa a (-1,1,1) elemeket a főátlóban tartalmazó diagonális mátrix (az elemek pont a sajátértékek).
Paraméteres egyenletrendszer
1.
megoldható pontosan akkor, ha a-1=0 esetén, b=0 és a-1 0 esetén b bármilyen. Az első esetben végtelen sok megoldás, a másodikban 1, tehát:
- 0 megoldás, ha (a,b) ∈ {1} × R\{0}, mert ekkor 0x+0y+0z=b 0 ellentomodó egyenlet
- 1 megoldás, ha (a,b) ∈ R\{1} × R, mert ekkor det A 0
- ∞ megoldás, ha (a,b)=(1,0), mert ekkor det A = 0 és nem ellentmondó az alsó egyenlet: 0x+0y+0z=0Mozo 2008. március 10., 10:22 (CET)
2.
Diszkusszió:
1) Van megoldás pontosan akkor, ha és b bármilyen vagy a = 0 és b = -1 (ekkor az ehómátrix és a kibővített mátrix rangja egyenlő (3 ill. 2). 2) Ha van megoldás, akkor ez előbb említett első esetben 1 db megoldás van, az utóbb említett esetben végtelen sok. Mozo 2008. március 12., 14:57 (CET)
Paraméteres determináns
Milyen c-re nulla az alábbi determináns értéke?
- a 2. oszlop csupa 1, és a többiben is van sok egyes, tehát érdemes levonni a 2. oszlopot a többiből:
- a 2. sorban egy db 1-es lett, fejtsük ki eszerint:
- ha levonjuk az 1. oszlopot a 3-ból, akkor eltűnik a -2:
3. gyakorlat | 4. gyakorlat |