Inverz mátrix
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (+kat) |
||
34. sor: | 34. sor: | ||
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
− | Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az ''A'' i-edik (a<sub>i1</sub>,a<sub>i2</sub>,a<sub>i3</sub>,...,a<sub>in</sub>) sorát az adjungált i-edik ((-1)<sup>i+1</sup>M<sub>i1</sub>,(-1)<sup>i+2</sup>M<sub>i2</sub>,(-1)<sup>i+3</sup>M<sub>i3</sub>,...,(-1)<sup>i+n</sup>M<sub>in</sub>) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az ''A'' determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. <big><big><big> | + | Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az ''A'' i-edik (a<sub>i1</sub>,a<sub>i2</sub>,a<sub>i3</sub>,...,a<sub>in</sub>) sorát az adjungált i-edik ((-1)<sup>i+1</sup>M<sub>i1</sub>,(-1)<sup>i+2</sup>M<sub>i2</sub>,(-1)<sup>i+3</sup>M<sub>i3</sub>,...,(-1)<sup>i+n</sup>M<sub>in</sub>) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az ''A'' determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. <big><big><big>QED■ |
− | + | </big></big></big> | |
+ | |||
+ | [[Kategória: Lineáris algebra]] |
A lap 2008. május 20., 13:39-kori változata
Egy reguláris mátrix inverze olyan mátrix, mellyel őt jobbról balról beszorozva egységmátrixot kapunk.
Inverz mátrix képlet
Egy invertálható A mátrix esetén az A-1 inverz a következőképpen írható fel:
itt adj A az A adjungáltja, a det A számmal való osztás az A invertálhatósága miatt elvégezhető, hiszen ekkor ez nem nulla.
Bizonyítás. Elég belátni, hogy
- A adj(A) = det(A)I,
ahol I az egységmátrix. Ha az előjeles aldetermináns-mátrix értékeit ±Mji-vel jelöljük (a minormátrix megfelelő előjellel ellátott transzponáltja), akkor a mátrixszorzat szokásos táblázatos ábrázolásában a következő egyenlőséget kell igazolnunk:
Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az A i-edik (ai1,ai2,ai3,...,ain) sorát az adjungált i-edik ((-1)i+1Mi1,(-1)i+2Mi2,(-1)i+3Mi3,...,(-1)i+nMin) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az A determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. QED■