Matematika A2a 2008/1. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vektorfüggvények ábrázolása) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Előzetes) |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
:<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math> | :<math>f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}</math> | ||
függvény által van meghatározva. | függvény által van meghatározva. | ||
+ | ===Topologikus alapfogalmak=== | ||
+ | '''R'''<sup>n</sup>-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az '''R'''<sup>n</sup> két tetszőleges pontja, akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}</math> | ||
+ | Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk: | ||
+ | :<math>||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}</math> | ||
+ | majd vesszük a különbség hosszát távolságnak: | ||
+ | :<math>\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,</math> | ||
+ | Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges ''p'' pozitív számra | ||
+ | :<math>||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}</math> | ||
+ | szintén norma (p=2-re az euklidészi). |
A lap 2008. január 31., 22:24-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre.
Előzetes
Vektorfüggvények ábrázolása
- Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.
Rn Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az
- R2 R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
- R R3 típusú tér- vagy R R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).
Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).
1) Példa R2 R ábrázolására az
egyenletű majomnyereg felület:
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).
2) Szintvonalak. Az R2 R ill. R3 R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:
- Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
- Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.
3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a
ábra mutat és amely a
függvény által van meghatározva.
Topologikus alapfogalmak
Rn-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rn két tetszőleges pontja, akkor
Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:
majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:
Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra
szintén norma (p=2-re az euklidészi).