Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Vektorfüggvények ábrázolása)
(→Vektorfüggvények ábrázolása)
3. sor: 3. sor:
 
==Előzetes==
 
==Előzetes==
 
===Vektorfüggvények ábrázolása===
 
===Vektorfüggvények ábrázolása===
 +
:''Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.'' 
 
'''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az  
 
'''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az  
 
*'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú ''felületek'' (kétváltozós, számértékű) és az  
 
*'''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú ''felületek'' (kétváltozós, számértékű) és az  
13. sor: 14. sor:
 
:[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Monkey_Saddle_Surface_%28Shaded%29.png]  
 
:[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Monkey_Saddle_Surface_%28Shaded%29.png]  
 
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).
 
Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).
 +
 +
Az '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' ill. '''R'''<sup>3</sup> <math>\to</math> '''R'''  típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:
 +
* Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy '''R'''<sup>2</sup> <math>\to</math> '''R''' típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
 +
::[http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Cntr-map-1.jpg]
 +
* Térbeli hőrétkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki. 
  
 
Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a  
 
Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a  

A lap 2008. január 31., 16:19-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre.

Előzetes

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rn \to Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

  • R2 \to R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
  • R \to R3 típusú tér- vagy R \to R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

Felületre példa a kétváltozós

z=F(x,y)=x^3-xy^2\,

egyenletű majomnyereg felület:

[1]

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

Az R2 \to R ill. R3 \to R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

  • Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 \to R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
[2]
  • Térbeli hőrétkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}

függvény által van meghatározva.

A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/1._gyakorlat&oldid=3058”
Személyes eszközök