Matematika A2a 2008/1. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. január 31., 22:24-kor történt szerkesztése után volt.
Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Az első gyakorlaton a Rn topologikus tulajdonságait beszéljük meg, különös tekintettel, az Rn egy részhalmazából Rm-be ható folytonos leképezésekre.

Előzetes

Vektorfüggvények ábrázolása

Egyelőre görbére és felületre elég a hétköznapi értelemben gondolni. Ezekkel számolni (vonal és felületi intagrál) csak az A3-ba fogunk.

Rn \to Rm függvények két legjellegzetesebb, legjobban szemléltethető típusa az

  • R2 \to R típusú felületek (kétváltozós, számértékű) és az
  • R \to R3 típusú tér- vagy R \to R2 típusú síkgörbék (egyváltozós, vektorértékű).

Persze ezek is csak akkor személetesek, ha viszonlag egyszerűek (mondjuk polinomiálisak vagy elemi függvényekből vannak összerakva) vagy kevéssé változtatják a függvényérékeiket (simák).

1) Példa R2 \to R ábrázolására az

z=F(x,y)=x^3-xy^2\,

egyenletű majomnyereg felület:

[1]

Itt az [xy] sík minden egyes pontja felett egy olyan z koordinátájú pontot ábrázolunk, melynek z koordinátája F(x,y).

2) Szintvonalak. Az R2 \to R ill. R3 \to R típusú függvények másik ábrázolási módja a szintvonalakkal és szintfelületekkel történő ábrázolás. Példák:

  • Domborzati térkép. A térkép minden pontjához hozzá van rendelve, hogy milyen magasan van az adott hely, így ez egy R2 \to R típusú függvény. Az azonos magasságú pontok (igaz csak 10 vagy 100 méterenként) görbével vannak összekötve:
[2]
  • Térbeli hőtérkép. Mondjuk egy szobában van egy radiátor. A radiátor körül nagy a hőmérséklet. Egy tágabb gömbfelületen már kevesebb, a szoba átellenes pontján még kisebb. A térben az azonos hőmérsékletű pontok felületet rajzolnak ki.

3) Térgörbére vegyünk egy henger és egy gömb alkalmas metszetét, melyet a

[3]

ábra mutat és amely a

f:[-2\pi,2\pi]\to\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}1+\cos t\\ \sin t\\ 2\sin\left(\frac{1}{2}t\right)\end{pmatrix}

függvény által van meghatározva.

Topologikus alapfogalmak

Rn-ben értelmezzük két pont euklidészi távolságát (ez az euklideszi metrika). Ha a és b az Rn két tetszőleges pontja, akkor

\mathrm{d}_2(a,b)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)^2}

Azt is mondhatjuk, hogy definiálunk egy általános vektorhosszat, amit euklidészi normának nevezünk:

||a||_2=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^na_i^2}

majd vesszük a különbség hosszát távolságnak:

\mathrm{d}_2(a,b)=||b-a||_2\,

Az már a matematikusokra tartozik, hogy absztrakt módon definiálják a metrika és a norma fogalmát és belátják, hogy tetszőleges p pozitív számra

||a||_p=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}|a_i|^p\right)^{1/p}

szintén norma (p=2-re az euklidészi).

Személyes eszközök