Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
(egy szerkesztő 15 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
5. sor: | 5. sor: | ||
b) <math>h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}</math> | b) <math>h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}</math> | ||
+ | |||
+ | Ábrázoljuk őket a wolfram alfán: | ||
+ | |||
+ | [wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html] | ||
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az | Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az | ||
11. sor: | 15. sor: | ||
:<math>y=r\sin\varphi\,</math> | :<math>y=r\sin\varphi\,</math> | ||
− | polárkoordináta transzformációval átírni, ebben <math>r=\sqrt{x^2+y^2}\,</math> a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): <math>\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+ | + | polárkoordináta transzformációval átírni, ebben <math>r=\sqrt{x^2+y^2}\,</math> a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): <math>\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)</math> |
Innen: <math>f(r)=r^2\,</math> z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid) | Innen: <math>f(r)=r^2\,</math> z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid) | ||
22. sor: | 26. sor: | ||
:<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>. | :<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>. | ||
+ | <!-- | ||
==Iterált határérték== | ==Iterált határérték== | ||
53. sor: | 58. sor: | ||
'''*Feladat. ''' a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik. | '''*Feladat. ''' a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik. | ||
+ | --> | ||
==Határérték== | ==Határérték== | ||
70. sor: | 76. sor: | ||
Ha <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> olyan, hogy <math>(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)'</math>, akkor <math>f\in C(x_0,y_0)</math> pontosan akkor, ha <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)</math>. | Ha <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> olyan, hogy <math>(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)'</math>, akkor <math>f\in C(x_0,y_0)</math> pontosan akkor, ha <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
'''1.''' Hol létezik határértéke az | '''1.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? ("A félév függvénye.") |
+ | |||
+ | ::'''Megoldás.''' Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az ''y'' = ''mx'' egyenes mentén: | ||
+ | :::<math>f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}</math> | ||
+ | ::Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk. | ||
+ | |||
'''2.''' Hol létezik határértéke az | '''2.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{y}{x}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{y}{x}</math> | ||
függvénynek? | függvénynek? | ||
+ | |||
+ | MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis: | ||
+ | :<math>\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}</math> | ||
+ | Polárkoordinátákra áttérve: | ||
+ | :<math>Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,</math> | ||
+ | ami független ''r''-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz. | ||
'''3.''' Hol létezik határértéke az | '''3.''' Hol létezik határértéke az | ||
86. sor: | 107. sor: | ||
'''4.''' Hol létezik határértéke az | '''4.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | ||
− | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\ | + | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0</math>, akkor <math>f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0</math> "rendőrelvet", ahol <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math>, vagy vegyük észre a "félév függvényét".) |
+ | |||
+ | ::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ): | ||
+ | :::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)</math> | ||
+ | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0. | ||
+ | ::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Emiatt: | ||
+ | ::<math>|\frac{xy}{x^2+y^2}|\leq \frac{1}{2}</math> | ||
+ | :::<math>|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|y| </math> | ||
+ | ::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0. | ||
+ | |||
'''5.''' Hol létezik határértéke az | '''5.''' Hol létezik határértéke az | ||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? (Használjuk az "<math>x^2=y^4</math>" trükköt! <math>y=\sqrt{x}</math>) |
− | '''6.''' | + | '''6.''' Mi a határértéke rögzített φ-re? |
:<math>g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}</math> | :<math>g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}</math> | ||
függvénynek? | függvénynek? | ||
'''7.''' Hol létezik határértéke az | '''7.''' Hol létezik határértéke az | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math> | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math> | ||
− | függvénynek? | + | függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.) |
− | ''' | + | '''8.''' HF. Hol létezik határértéke az |
− | :<math>f(x,y)=\dfrac{ | + | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}</math> |
függvénynek? | függvénynek? | ||
− | + | ==IMSc Kiegészítés== | |
− | + | ===Sorozatok konvergenciája normált térben=== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ==Sorozatok konvergenciája normált térben== | + | |
Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' ∈ ''E'' pont, ha | Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' ∈ ''E'' pont, ha | ||
:<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math> | :<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math> | ||
137. sor: | 157. sor: | ||
: <math>\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon</math>, | : <math>\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon</math>, | ||
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A<sup>(1)</sup> , A<sup>(2)</sup>, ... , A<sup>(m)</sup>) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is. | azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A<sup>(1)</sup> , A<sup>(2)</sup>, ... , A<sup>(m)</sup>) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is. | ||
− | |||
− | |||
===Példák=== | ===Példák=== | ||
'''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. | '''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. | ||
:<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math> | :<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math> | ||
− | + | ||
− | + | Két hasznos dologot jegyezzünk meg: | |
− | + | ||
− | + | '''Tétel''' '''R'''<sup>m</sup>-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz. | |
'''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben. | '''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben. | ||
158. sor: | 176. sor: | ||
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''. | sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''. | ||
− | + | 2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata | |
:<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math> | :<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math> | ||
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart. | nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart. | ||
166. sor: | 184. sor: | ||
:<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math> | :<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math> | ||
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet. | sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet. | ||
+ | |||
+ | <!-- | ||
==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ==Bolzano-Weierstrass-tételkör== |
A lap jelenlegi, 2017. február 19., 18:53-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:
[wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html]
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy -t írunk.
Rendőrelv. Legyen és . Ha van olyan δ>0, hogy minden -ra
és és , akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan és sorozatok, hogy és , de vagy nem konvergensek, vagy ha igen, akkor .
Folytonosság. Legyen és . Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ha olyan, hogy , akkor pontosan akkor, ha .
1. Hol létezik határértéke az
függvénynek? ("A félév függvénye.")
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
2. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:
Polárkoordinátákra áttérve:
ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.
3. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
4. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az , akkor "rendőrelvet", ahol , vagy vegyük észre a "félév függvényét".)
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Emiatt:
-
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
5. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az "x2 = y4" trükköt! )
6. Mi a határértéke rögzített φ-re?
függvénynek?
7. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)
8. HF. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
IMSc Kiegészítés
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Komponenssorozatok Rm-ben
(an):Z+ Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.
Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra
amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.
Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:
ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re
azaz
- ,
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
Példák
1. R2-ben.
Két hasznos dologot jegyezzünk meg:
Tétel Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz.
2. B[a,b]-ben.
Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:
azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.
2.1. B[-1000,+1000]-ben az
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.
2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.
3. Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |