Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Komponenssorozatok '''R'''<sup>m</sup>-ben) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Határérték) |
||
(egy szerkesztő 65 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
− | ==Sorozatok konvergenciája normált térben== | + | ==Kétváltozós függvények szemléltetése== |
+ | a) <math>f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | |||
+ | b) <math>h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}</math> | ||
+ | |||
+ | Ábrázoljuk őket a wolfram alfán: | ||
+ | |||
+ | [wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html] | ||
+ | |||
+ | Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az | ||
+ | |||
+ | :<math>x=r\cos\varphi\,</math> | ||
+ | :<math>y=r\sin\varphi\,</math> | ||
+ | |||
+ | polárkoordináta transzformációval átírni, ebben <math>r=\sqrt{x^2+y^2}\,</math> a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): <math>\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)</math> | ||
+ | |||
+ | Innen: <math>f(r)=r^2\,</math> z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid) | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\}</math> és <math>g(r)=\frac{1}{r^2}\,</math> másodfokú hiperbola körbeforgatva. | ||
+ | |||
+ | Mindkettő szintvonalai körök. | ||
+ | |||
+ | b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek. | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>. | ||
+ | <!-- | ||
+ | ==Iterált határérték== | ||
+ | |||
+ | a) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?</math> | ||
+ | |||
+ | b*) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?</math> | ||
+ | |||
+ | c) HF <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?</math> | ||
+ | |||
+ | MO. | ||
+ | |||
+ | a) | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& y\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& y= 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math> | ||
+ | b) | ||
+ | :<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | 0 &,& x\leq 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \not\exists &,& y= 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math> | ||
+ | |||
+ | '''*Feladat. ''' a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik. | ||
+ | --> | ||
+ | |||
+ | ==Határérték== | ||
+ | '''Def.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy <math>f</math>-nek létezik határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, és ez az ''A'' szám, ha | ||
+ | :minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy <math>f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)</math> | ||
+ | Ilyenkor <math>\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A</math>-t vagy <math>\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>-t írunk. | ||
+ | |||
+ | '''Rendőrelv.''' Legyen <math>f,g,h:U\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in U'</math>. Ha van olyan δ>0, hogy minden <math>(x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U</math>-ra | ||
+ | :<math>g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,</math> | ||
+ | és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A</math> és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A</math>, akkor | ||
+ | :<math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math> | ||
+ | |||
+ | '''Határérték nem létezésének jellemzése.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. <math>f</math>-nek nem létezik véges határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan <math>(\mathbf{x}_n)</math> és <math>(\mathbf{x}_n')</math> sorozatok, hogy <math>\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)</math> és <math>\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)</math>, de <math>f(\mathbf{x}_n)</math> vagy <math>f(\mathbf{x}_n')</math> nem konvergensek, vagy ha igen, akkor <math>\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n')</math>. | ||
+ | |||
+ | '''Folytonosság.''' Legyen <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)</math>. Azt mondjuk, hogy <math>f</math> folytonos az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, ha | ||
+ | :minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy <math>f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))</math> | ||
+ | |||
+ | Ha <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> olyan, hogy <math>(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)'</math>, akkor <math>f\in C(x_0,y_0)</math> pontosan akkor, ha <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''1.''' Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | függvénynek? ("A félév függvénye.") | ||
+ | |||
+ | ::'''Megoldás.''' Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az ''y'' = ''mx'' egyenes mentén: | ||
+ | :::<math>f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}</math> | ||
+ | ::Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2.''' Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{y}{x}</math> | ||
+ | függvénynek? | ||
+ | |||
+ | MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis: | ||
+ | :<math>\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}</math> | ||
+ | Polárkoordinátákra áttérve: | ||
+ | :<math>Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,</math> | ||
+ | ami független ''r''-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}</math> | ||
+ | függvénynek? | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0</math>, akkor <math>f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0</math> "rendőrelvet", ahol <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math>, vagy vegyük észre a "félév függvényét".) | ||
+ | |||
+ | ::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ): | ||
+ | :::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)</math> | ||
+ | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0. | ||
+ | ::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Emiatt: | ||
+ | ::<math>|\frac{xy}{x^2+y^2}|\leq \frac{1}{2}</math> | ||
+ | :::<math>|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|y| </math> | ||
+ | ::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''5.''' Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}</math> | ||
+ | függvénynek? (Használjuk az "<math>x^2=y^4</math>" trükköt! <math>y=\sqrt{x}</math>) | ||
+ | |||
+ | '''6.''' Mi a határértéke rögzített φ-re? | ||
+ | :<math>g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}</math> | ||
+ | függvénynek? | ||
+ | |||
+ | '''7.''' Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math> | ||
+ | függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.) | ||
+ | |||
+ | '''8.''' HF. Hol létezik határértéke az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}</math> | ||
+ | függvénynek? | ||
+ | |||
+ | ==IMSc Kiegészítés== | ||
+ | ===Sorozatok konvergenciája normált térben=== | ||
Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' ∈ ''E'' pont, ha | Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' ∈ ''E'' pont, ha | ||
:<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math> | :<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math> | ||
27. sor: | 161. sor: | ||
'''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. | '''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben. | ||
:<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math> | :<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math> | ||
− | + | ||
− | + | Két hasznos dologot jegyezzünk meg: | |
− | + | ||
− | + | '''Tétel''' '''R'''<sup>m</sup>-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz. | |
'''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben. | '''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben. | ||
42. sor: | 176. sor: | ||
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''. | sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''. | ||
− | + | 2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata | |
:<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math> | :<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math> | ||
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart. | nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart. | ||
51. sor: | 185. sor: | ||
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet. | sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet. | ||
− | + | <!-- | |
− | + | ==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | |
− | ''' | + | '''Zárt''' egy halmaz, ha minden benne haladó konvergens sorozat határértéke is a halmazban van. |
'''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. | '''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. | ||
− | '''Bolzano-Weierstrass-tétel.''' Korlátos | + | '''Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. |
− | ''' | + | ''Bizonyítás.'' Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni. |
− | '''Bolzano-Weierstrass- | + | '''Bolzano-Weierstrass-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt. |
− | + | '''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Cauchy-sorozatok== | ==Cauchy-sorozatok== | ||
A normált térbeli (<math>a_n</math>) sorozat '''Cauchy-sorozat''', ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. | A normált térbeli (<math>a_n</math>) sorozat '''Cauchy-sorozat''', ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat. | ||
86. sor: | 214. sor: | ||
:<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)</math> | :<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)</math> | ||
Itt ||x-a|| az x-a '''R'''<sup>n</sup>-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) '''R'''<sup>m</sup>-beli euklideszi normája. | Itt ||x-a|| az x-a '''R'''<sup>n</sup>-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) '''R'''<sup>m</sup>-beli euklideszi normája. | ||
− | + | ||
− | :<math>f:\mathbf{R}^2\ | + | |
− | + | ||
− | : | + | ===Feladat=== |
+ | Igazoljuk, hogy a ([0,1] × [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő '''R'''<sup>2</sup>-ben. | ||
+ | |||
+ | ==Házi feladat== | ||
+ | ===1.=== | ||
+ | Igazoljuk, hogy ha ''f'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R''' és ''f'' az ''a'' ∈ '''R'''<sup>n</sup> pontban folytonos és ''f''(''a'') > 0, akkor létezik egy egész környezete ''a''-nak, ahol ''f'' mindenhol pozitív. | ||
+ | |||
+ | ===2.=== | ||
+ | Igazoljuk definíció szerint, hogy az | ||
+ | :<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}</math> | ||
+ | függvény folytonos (0,0)-ban. | ||
+ | ===3.=== | ||
+ | Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos! | ||
+ | :<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}</math> | ||
+ | (''Útmutatás.'' Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.) | ||
+ | |||
+ | ==Kiegészítés== | ||
+ | ===Kompakt halmazon folytonos függvények=== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (''Weierstrass'') Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát. | ||
+ | :Azaz ha ''K''⊆'''R'''<sup>N</sup> kompakt és ''f'' ∈ C(''K'','''R'''), akkor sup(''f''), inf(''f'') ∈ Ran(''f'') | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik δ(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>δ</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-1;,''f''(''u'')+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló | ||
+ | :<math>\{\mathrm{B}_{\varepsilon}(u)\}_{u\in K}\,</math> | ||
+ | rendszer lefedi ''K''-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik ''V'' ⊆ ''K'' véges, hogy | ||
+ | :<math>K\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u)\,</math> | ||
+ | Ezek képei lefedik Ran(f)-et: | ||
+ | :<math>f(K)\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}f(\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u))\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\{\mathrm{B}_{1}(f(u))\,</math> | ||
+ | Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát ''f'' képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos. | ||
+ | |||
+ | 2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'') függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a | ||
+ | :<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math> | ||
+ | függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(''f'') azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van <math>x_n</math> ∈ ''K'', hogy <math>|S - f(x_n)|<1/n</math>, azaz van olyan ''K''-beli <math>x_n</math> sorozat, melynek képsorozata ''h'' által a végtelenbe tart, azaz ''h'' nem korlátos. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (''Bolzano'') Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő. | ||
+ | :(Ha ''f'' ∈ C('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>m</sup>), Dom(''f'') ívszerűen összefüggő, akkor Ran(''f'') is ívszerűen összefüggő.) | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel''' (''Heine'') Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos. | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Heine-Borel-tétellel. | ||
+ | --> | ||
+ | |||
<center> | <center> | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
96. sor: | 267. sor: | ||
|} | |} | ||
</center> | </center> | ||
+ | |||
+ | [[Kategória:Matematika A2]] |
A lap jelenlegi, 2017. február 19., 18:53-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Kétváltozós függvények szemléltetése
a)
b)
Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:
[wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html]
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben):
Innen: z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
- és másodfokú hiperbola körbeforgatva.
Mindkettő szintvonalai körök.
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
- szintén egyenesek a szintvonalak: .
Határérték
Def. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ilyenkor -t vagy -t írunk.
Rendőrelv. Legyen és . Ha van olyan δ>0, hogy minden -ra
és és , akkor
Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan és sorozatok, hogy és , de vagy nem konvergensek, vagy ha igen, akkor .
Folytonosság. Legyen és . Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha
- minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy
Ha olyan, hogy , akkor pontosan akkor, ha .
1. Hol létezik határértéke az
függvénynek? ("A félév függvénye.")
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
2. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:
Polárkoordinátákra áttérve:
ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.
3. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
4. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az , akkor "rendőrelvet", ahol , vagy vegyük észre a "félév függvényét".)
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Emiatt:
-
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
5. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Használjuk az "x2 = y4" trükköt! )
6. Mi a határértéke rögzített φ-re?
függvénynek?
7. Hol létezik határértéke az
függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)
8. HF. Hol létezik határértéke az
függvénynek?
IMSc Kiegészítés
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Komponenssorozatok Rm-ben
(an):Z+ Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.
Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra
amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.
Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:
ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re
azaz
- ,
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
Példák
1. R2-ben.
Két hasznos dologot jegyezzünk meg:
Tétel Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz.
2. B[a,b]-ben.
Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:
azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.
2.1. B[-1000,+1000]-ben az
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.
2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.
3. Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |