Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(→Cauchy-sorozatok)
(→Határérték)
 
(egy szerkesztő 69 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
 
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.''
  
−
==Sorozatok konvergenciája normált térben==
+
==Kétváltozós függvények szemléltetése==
 +
a) <math>f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}</math>
 +
 
 +
b) <math>h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}</math>
 +
 
 +
Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:
 +
 
 +
[wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html]
 +
 
 +
Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az
 +
 
 +
:<math>x=r\cos\varphi\,</math>
 +
:<math>y=r\sin\varphi\,</math>
 +
 
 +
polárkoordináta transzformációval átírni, ebben <math>r=\sqrt{x^2+y^2}\,</math> a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): <math>\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)</math>
 +
 
 +
Innen: <math>f(r)=r^2\,</math> z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)
 +
 
 +
:<math>\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\}</math> és <math>g(r)=\frac{1}{r^2}\,</math> másodfokú hiperbola körbeforgatva.
 +
 
 +
Mindkettő szintvonalai körök.
 +
 
 +
b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.
 +
 
 +
:<math>\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}</math> szintén egyenesek a szintvonalak: <math>y=-\frac{1}{c}+x</math>.
 +
<!--
 +
==Iterált határérték==
 +
 
 +
a) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?</math>
 +
 
 +
b*) <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?</math>
 +
 
 +
c) HF <math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?</math>
 +
 
 +
MO.
 +
 
 +
a)
 +
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\
 +
\\
 +
\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0
 +
\end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& y\ne 0\\
 +
\\
 +
\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& y= 0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math>
 +
b)
 +
:<math>g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\
 +
\\
 +
0 &,& x\leq 0
 +
\end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\
 +
\\
 +
\not\exists &,& y= 0
 +
\end{matrix}\right.</math>
 +
Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:
 +
:<math>\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0</math>
 +
 
 +
'''*Feladat. ''' a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.
 +
-->
 +
 
 +
==Határérték==
 +
'''Def.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy <math>f</math>-nek létezik határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, és ez az ''A'' szám, ha
 +
:minden &epsilon;>0-ra létezik &delta;>0, hogy <math>f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)</math>
 +
Ilyenkor <math>\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A</math>-t vagy  <math>\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>-t írunk.
 +
 
 +
'''Rendőrelv.''' Legyen <math>f,g,h:U\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in U'</math>. Ha van olyan &delta;>0, hogy minden <math>(x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U</math>-ra
 +
:<math>g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,</math>
 +
és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A</math> és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A</math>, akkor
 +
:<math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>
 +
 
 +
'''Határérték nem létezésének jellemzése.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. <math>f</math>-nek nem létezik véges határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan <math>(\mathbf{x}_n)</math> és <math>(\mathbf{x}_n')</math> sorozatok, hogy <math>\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)</math> és <math>\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)</math>, de <math>f(\mathbf{x}_n)</math> vagy <math>f(\mathbf{x}_n')</math> nem konvergensek, vagy ha igen, akkor <math>\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n')</math>.
 +
 
 +
'''Folytonosság.''' Legyen <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)</math>. Azt mondjuk, hogy <math>f</math> folytonos az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, ha
 +
:minden &epsilon;>0-ra létezik &delta;>0, hogy <math>f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))</math>
 +
 
 +
Ha <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> olyan, hogy <math>(x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)'</math>, akkor <math>f\in C(x_0,y_0)</math> pontosan akkor, ha <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0)</math>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''1.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}</math>
 +
függvénynek? ("A félév függvénye.")
 +
 
 +
::'''Megoldás.''' Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak &phi;-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az ''y'' = ''mx'' egyenes mentén:
 +
:::<math>f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}</math>
 +
::Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
 +
 
 +
 
 +
'''2.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{y}{x}</math>
 +
függvénynek?
 +
 
 +
MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:
 +
:<math>\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}</math>
 +
Polárkoordinátákra áttérve:
 +
:<math>Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,</math>
 +
ami független ''r''-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.
 +
 
 +
'''3.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}</math>
 +
függvénynek?
 +
 
 +
'''4.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}</math>
 +
függvénynek? (Használjuk az <math>|f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0</math>, akkor <math>f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0</math> "rendőrelvet", ahol <math>r=\sqrt{x^2+y^2}</math>, vagy vegyük észre a "félév függvényét".)
 +
 
 +
::'''1. megoldás''' (polártranszf.).  ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(&phi;), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(&phi;):
 +
:::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)</math>
 +
::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
 +
::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek).  |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Emiatt:
 +
::<math>|\frac{xy}{x^2+y^2}|\leq \frac{1}{2}</math>
 +
:::<math>|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|y| </math>
 +
::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
 +
 
 +
 
 +
'''5.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}</math>
 +
függvénynek? (Használjuk az "<math>x^2=y^4</math>" trükköt! <math>y=\sqrt{x}</math>)
 +
 
 +
'''6.''' Mi a határértéke rögzített &phi;-re?
 +
:<math>g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}</math>
 +
függvénynek?
 +
 
 +
'''7.''' Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}</math>
 +
függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)
 +
 
 +
'''8.''' HF. Hol létezik határértéke az
 +
:<math>f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}</math>
 +
függvénynek?
 +
 
 +
==IMSc Kiegészítés==
 +
===Sorozatok konvergenciája normált térben===
 
Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' &isin; ''E'' pont, ha  
 
Azt mondjuk, hogy az (<math>a_n</math>) sorozat '''konvergens''' az (''E'', ||.||) normált térben és határértéke a ''u'' &isin; ''E'' pont, ha  
 
:<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math>
 
:<math>\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)</math>
 +
===Komponenssorozatok '''R'''<sup>m</sup>-ben===
 +
(<math>a_n</math>):'''Z'''<sup>+</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.
 +
:<math>a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...</math>
 +
:<math>a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...</math>
 +
:<math>\vdots</math>
 +
:<math>a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...</math>
 +
Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz &epsilon; > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra
 +
: <math>\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon</math>
 +
amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:
 +
: <math>|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon</math>
 +
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.
 +
 +
Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges &epsilon; > 0-ra léteznek { <math>N_i</math>} (i=1...m) természetes számok, hogy:
 +
: <math>\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon</math>
 +
ha tehát N= max{<math>N_i</math>}, akkor minden n > N-re
 +
: <math>|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon</math>
 +
azaz
 +
: <math>\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon</math>,
 +
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A<sup>(1)</sup> , A<sup>(2)</sup>, ... , A<sup>(m)</sup>) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
 +
 
===Példák===
 
===Példák===
 
'''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben.  
 
'''1.''' '''R'''<sup>2</sup>-ben.  
 
:<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math>
 
:<math>a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)</math>
−
'''Megoldás.''' Két hasznos dologot jegyezzünk meg:  
+
 
−
:1) '''R'''<sup>m</sup>-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
+
Két hasznos dologot jegyezzünk meg:  
−
:2) '''R'''<sup>m</sup>-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
+
 
−
Tehát a határérték a <math>\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}</math> mert itt ''konstans + (nullához tartó <math>\cdot</math> korlátos)'' alakú komponenssorozatok szerepelnek.
+
'''Tétel''' '''R'''<sup>m</sup>-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz.
  
 
'''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben.
 
'''2.''' ''B''[''a'',''b'']-ben.
22. sor: 176. sor:
 
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''.
 
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy '''egyenletesen konvergens'''.
  
−
2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
+
2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
 
:<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math>
 
:<math> f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})</math>
 
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.  
 
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat '''pontonként konvergens''' lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.  
30. sor: 184. sor:
 
:<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math>
 
:<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math>
 
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
 
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
 +
 +
<!--
  
 
==Bolzano-Weierstrass-tételkör==
 
==Bolzano-Weierstrass-tételkör==
  
−
'''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t.
+
'''Zárt''' egy halmaz, ha minden benne haladó konvergens sorozat határértéke is a halmazban van.
−
 
+
−
'''Heine-Borel-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz kompakt.
+
  
 
'''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat.
 
'''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat.
 +
 +
'''Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
 +
 +
''Bizonyítás.'' Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.
  
 
'''Bolzano-Weierstrass-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
 
'''Bolzano-Weierstrass-tétel.''' Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
43. sor: 201. sor:
 
'''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
 
'''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
  
−
'''Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
 
−
 
−
Ha még azt a tényt is hozzávesszük, hogy egy ''H'' halmaz pontosan akkor zárt, ha minden benne haladó konvergens sorozatnak a határértéke is benne van, akkor világos, hogy mi a kapcsolat a két utóbbi tétel között.
 
−
 
−
'''R'''<sup>n</sup> véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis <math>\mbox{ }_{\ell_{\infty}(\mathbf{R})}</math> a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
 
−
:<math>||s||_{\infty}=\sup\{|s_n|\mid n\in\mathbf{N}\}</math>
 
−
Ekkor a
 
−
:<math>H:=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\mid ||s||\leq 1\}</math>
 
−
"gömb" nem kompakt.
 
−
Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok <math>\mbox{ }_{\ell_{p}(\mathbf{R})}</math> terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező <math>\mbox{ }_{\ell_{1}(\mathbf{R})}</math> tér bír jelentőséggel.
 
 
==Cauchy-sorozatok==
 
==Cauchy-sorozatok==
 
A normált térbeli (<math>a_n</math>) sorozat '''Cauchy-sorozat''', ha minden &epsilon; pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint &epsilon;. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.  
 
A normált térbeli (<math>a_n</math>) sorozat '''Cauchy-sorozat''', ha minden &epsilon; pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint &epsilon;. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.  
58. sor: 206. sor:
 
'''R'''<sup>N</sup>-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy '''R'''<sup>N</sup> teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk '''teljes'''nek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.
 
'''R'''<sup>N</sup>-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy '''R'''<sup>N</sup> teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk '''teljes'''nek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.
  
−
Vannak nemteljes normált terek. <math>\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}</math>, a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a
+
Vannak nemteljes normált terek. <math>\mbox{ }_{\mathbf{R}^{(\mathbf{N})}}</math>, a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a
 
:<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}\frac{1}{m}, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math>
 
:<math>s_n(m):\left\{\begin{matrix}\frac{1}{m}, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.</math>
 
sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott &epsilon; > 0-hoz található olyan N, hogy N < n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub> indexűek különbsége kisebb &epsilon;, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.
 
sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott &epsilon; > 0-hoz található olyan N, hogy N < n<sub>1</sub>, n<sub>2</sub> indexűek különbsége kisebb &epsilon;, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.
66. sor: 214. sor:
 
:<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)</math>  
 
:<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(||x-a||<\delta\Longrightarrow||f(x)-f(a)||<\varepsilon)</math>  
 
Itt ||x-a|| az x-a '''R'''<sup>n</sup>-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) '''R'''<sup>m</sup>-beli euklideszi normája.
 
Itt ||x-a|| az x-a '''R'''<sup>n</sup>-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) '''R'''<sup>m</sup>-beli euklideszi normája.
−
:'''1. feladat''': Igazoljuk, hogy az
+
 
−
:<math>f:\mathbf{R}^2\rightarrow\mathbf{R}^2;\quad\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}x+y\\2xy\end{pmatrix}</math>
+
 
−
leképezés folytonos a 0 pontban.
+
 
−
:[[Folytonos függvény/1. feladat|megoldás]]
+
===Feladat===
 +
Igazoljuk, hogy a ([0,1] &times; [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő '''R'''<sup>2</sup>-ben.  
 +
 
 +
==Házi feladat==
 +
===1.===
 +
Igazoljuk, hogy ha ''f'' : '''R'''<sup>n</sup> <math>\to</math> '''R''' és ''f'' az ''a'' &isin; '''R'''<sup>n</sup> pontban folytonos és ''f''(''a'') > 0, akkor létezik egy egész környezete ''a''-nak, ahol ''f'' mindenhol pozitív.
 +
 
 +
===2.===
 +
Igazoljuk definíció szerint, hogy az  
 +
:<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2;\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x+y\\x\cdot y\end{pmatrix}</math>  
 +
függvény folytonos (0,0)-ban.
 +
===3.===
 +
Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!
 +
:<math>f:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R};\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}</math>
 +
(''Útmutatás.'' Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)
 +
 
 +
==Kiegészítés==
 +
===Kompakt halmazon folytonos függvények===
 +
 
 +
'''Tétel''' (''Weierstrass'') Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
 +
:Azaz ha ''K''&sube;'''R'''<sup>N</sup> kompakt és ''f'' &isin; C(''K'','''R'''), akkor sup(''f''), inf(''f'') &isin;  Ran(''f'')
 +
 
 +
''Bizonyítás.'' 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az &epsilon;=1  és ''f'' értelmezési tartománya ''K''. A folytonosság miatt ''K'' minden ''u'' eleméhez létezik &delta;(''u'') pozitív szám, hogy ''f'' a B<sub>&delta;</sub>(''u'') környezeten belül mindvégig az (''f''(''u'')-1;,''f''(''u'')+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló
 +
:<math>\{\mathrm{B}_{\varepsilon}(u)\}_{u\in K}\,</math>
 +
rendszer lefedi ''K''-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik ''V'' &sube; ''K'' véges, hogy
 +
:<math>K\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u)\,</math>
 +
Ezek képei lefedik Ran(f)-et:
 +
:<math>f(K)\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}f(\mathrm{B}_{\delta_{u}}(u))\subseteq\bigcup\limits_{u\in V}\{\mathrm{B}_{1}(f(u))\,</math>
 +
Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát ''f'' képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos.
 +
 
 +
2) Belátjuk, hogy ''f'' felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen ''S'' := sup(''f'') (azaz ''f'' értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a ''g'' : ''K'' <math>\to</math> '''R''', ''x'' <math>\mapsto</math> ''S''-''f''(''x'') függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha ''f'' nem venné fel a szuprémumát, akkor ''g'' pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a
 +
:<math>h:K\to\mathbf{R};x\mapsto \frac{1}{S-f(x)}</math>
 +
függvény. <math>h</math> mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy ''S'' a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(''f'') azt jelenti, hogy minden 1/n  alakú számra van <math>x_n</math> &isin; ''K'', hogy <math>|S - f(x_n)|<1/n</math>, azaz van olyan ''K''-beli <math>x_n</math> sorozat, melynek képsorozata ''h'' által a végtelenbe tart, azaz ''h'' nem korlátos.
 +
 
 +
'''Tétel''' (''Bolzano'') Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.
 +
:(Ha ''f'' &isin; C('''R'''<sup>n</sup>,'''R'''<sup>m</sup>), Dom(''f'') ívszerűen összefüggő, akkor Ran(''f'') is ívszerűen összefüggő.)
 +
 
 +
''Bizonyítás.'' Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.
 +
 
 +
'''Tétel''' (''Heine'') Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos.
 +
 
 +
''Bizonyítás.'' Heine-Borel-tétellel.
 +
-->
 +
 
 +
<center>
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|- bgcolor="#efefef"
 +
||[[Matematika A2a 2008/1. gyakorlat |1. gyakorlat]] || [[Matematika A2a 2008/3. gyakorlat |3. gyakorlat]]
 +
|}
 +
</center>
 +
 
 +
[[Kategória:Matematika A2]]

A lap jelenlegi, 2017. február 19., 18:53-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Tartalomjegyzék

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}

b) h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}

Ábrázoljuk őket a wolfram alfán:

[wolframalpha 3D Plots|http://www.wolframalpha.com/examples/PlottingAndGraphics.html]

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

x=r\cos\varphi\,
y=r\sin\varphi\,

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben r=\sqrt{x^2+y^2}\, a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): \varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\pi)

Innen: f(r)=r^2\, z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\} és g(r)=\frac{1}{r^2}\, másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\} szintén egyenesek a szintvonalak: y=-\frac{1}{c}+x.

Határérték

Def. Tegyük fel, hogy az f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy f-nek létezik határértéke az (x0,y0) pontban, és ez az A szám, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)

Ilyenkor \lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A-t vagy \lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A-t írunk.

Rendőrelv. Legyen f,g,h:U\to \mathbf{R} és (x_0,y_0)\in U'. Ha van olyan δ>0, hogy minden (x,y)\in\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\cap U-ra

g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,

és \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A és \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A, akkor

\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A

Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} függvény értelmezési tartományának (x0,y0) torlódási pontja. f-nek nem létezik véges határértéke az (x0,y0) pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan (\mathbf{x}_n) és (\mathbf{x}_n') sorozatok, hogy \mathbf{x}_n\to (x_0,y_0) és \mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0), de f(\mathbf{x}_n) vagy f(\mathbf{x}_n') nem konvergensek, vagy ha igen, akkor \lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n').

Folytonosság. Legyen f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} és (x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f). Azt mondjuk, hogy f folytonos az (x0,y0) pontban, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy f\left(\mathrm{B}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(f(x_0,y_0))

Ha f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R} olyan, hogy (x_0,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\cap\mathrm{Dom}(f)', akkor f\in C(x_0,y_0) pontosan akkor, ha \exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=f(x_0,y_0).




1. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}

függvénynek? ("A félév függvénye.")

Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}
Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.


2. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{y}{x}

függvénynek?

MO.: Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:

\mathrm{Dom}(Q)=\mathbf{R}^2\setminus\{(0,y)\mid y\in \mathbf{R}\}

Polárkoordinátákra áttérve:

Q(r,\varphi)=\mathrm{tg}(\varphi)\,

ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.

3. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{x+y}{x-y}

függvénynek?

4. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}

függvénynek? (Használjuk az |f(x,y)|\leq g(r)\xrightarrow[r\to 0]\, 0, akkor f(x,y)\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]\,0 "rendőrelvet", ahol r=\sqrt{x^2+y^2}, vagy vegyük észre a "félév függvényét".)

1. megoldás (polártranszf.). x = r\cdotcos(φ), y = r\cdotsin(φ):
f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)
Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) \to (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| \leq (x2 + y2)/2. Emiatt:
|\frac{xy}{x^2+y^2}|\leq \frac{1}{2}
|f(x,y)|\leq\frac{1}{2}|y|
Ha (x,y) \to (0,0), akkor persze |x| \to 0 és a többi tényező szorzata korlátos (éspedig -1/2 és 1/2 közötti), hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.


5. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}

függvénynek? (Használjuk az "x2 = y4" trükköt! y=\sqrt{x})

6. Mi a határértéke rögzített φ-re?

g(r,\varphi)=\dfrac{r^3\cos\varphi\sin^2\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^4\sin^4\varphi}

függvénynek?

7. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^4}

függvénynek? (Vegyük észre a "félév függvényét", vagy írjuk fel a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a nevező tagjaira.)

8. HF. Hol létezik határértéke az

f(x,y)=\dfrac{xy^3}{x^2+y^6}

függvénynek?

IMSc Kiegészítés

Sorozatok konvergenciája normált térben

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha

\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{\varepsilon} \in\mathbf{Z}^+\quad\forall n\in\mathbf{Z}^+\quad\quad n>N_\varepsilon\quad\Rightarrow\quad a_n\in B_\varepsilon^{||.||}(u)

Komponenssorozatok Rm-ben

(an):Z+ \to Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.

a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, ... ,a_n^{(1)},...
a_1^{(2)}, a_2^{(2)}, ... ,a_n^{(2)},...
\vdots
a_1^{(m)}, a_2^{(m)}, ... ,a_n^{(m)},...

Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon

amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.

Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:

\forall n> N_1 \quad|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad\quad \forall n> N_2 \quad|a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,\quad ..., \quad \forall n> N_m \quad|a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re

|a_n^{(1)}-A^{(1)}| <\varepsilon,\quad |a_n^{(2)}-A^{(2)}| <\varepsilon,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| <\varepsilon

azaz

\max\{ |a_n^{(1)}-A^{(1)}| ,|a_n^{(2)}-A^{(2)}| ,..., |a_n^{(m)}-A^{(m)}| \}<\varepsilon,

azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.

Példák

1. R2-ben.

a_n=\left(\begin{matrix}3+\frac{1}{n}\cos(n\pi/4)\\ \\2+\frac{1}{n}\sin(n\pi/4)\end{matrix}\right)

Két hasznos dologot jegyezzünk meg:

Tétel Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg. (Tehát, mindegy melyiket használjuk, a nyílt, zárt halmazok topológiai fogalmak (innen pedig a konvergencia is) ugyanaz lesz.

2. B[a,b]-ben.

Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:

||f-g||_\infty=\sup \mathrm{Ran}(|f-g|)\}=\sup\{|f(x)-g(x)|\;:\; x\in [a,b]\}

azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.

2.1. B[-1000,+1000]-ben az

f_n=exp+\frac{1}{n}\sin\quad\quad (f_n(x)=\mathrm{e}^x+\frac{1}{n}\sin(x))

sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.

2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata

f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})

nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.

3. \ell_\infty(\mathbf{R}) Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a

s_n(m):\left\{\begin{matrix}1, \mbox{ ha } m<n\\0, \mbox{ ha } m\geq n\end{matrix}\right.

sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.


1. gyakorlat 3. gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/2._gyakorlat&oldid=12490”
Személyes eszközök