Matematika A2a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorozatok konvergenciája normált térben) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Bolzano-Weierstrass-tételkör) |
||
73. sor: | 73. sor: | ||
==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ==Bolzano-Weierstrass-tételkör== | ||
+ | |||
+ | '''Zárt''' egy halmaz, ha minden benne haladó konvergens sorozat határértéke is a halmazban van. | ||
'''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. | '''Sorozatkompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. |
A lap 2013. szeptember 16., 14:03-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Sorozatok konvergenciája normált térben
Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens az (E, ||.||) normált térben és határértéke a u ∈ E pont, ha
Komponenssorozatok Rm-ben
(an):Z+ Rm akkor és csak akkor konvergens, ha komponenssorozatai konvergensek.
Ugyanis, ha konvergens, akkor a maximumnormában is konvergens, azaz ε > 0-hoz létezik N természetes szám, hogy minden n > N természetes számra
amiből következik, hogy minden n> N-re egyenként:
azaz mindegyik komponenessorozata konvergens.
Megfordítva. Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-ra léteznek { Ni} (i=1...m) természetes számok, hogy:
ha tehát N= max{Ni}, akkor minden n > N-re
azaz
- ,
azaz a sorozat a maximumnormában konvergál az A = ( A(1) , A(2), ... , A(m)) koordinátájú ponthoz, így az euklideszi normában is.
Heine--Borel-tétel
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
Heine-Borel-tétel. Korlátos és zárt halmaz kompakt.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Példa.
"gömb" zárt, korlátos, de nem kompakt.
Ugyanis, Nyilván korlátos, mert belefoglalható a B2(0) kétség sugarú 0 körüli gömbbe. Zárt is, ehhez nézzük a komplementerét! Ha ||s||> 1, az pontosan azt jelenti, hogy sup s >1, azaz létezik olyan ε>0, hogy minden n-re |s(n)| > 1+ ε. Pozitív s(n)-re vegyük az s(n)>(s(n)+1+ε)/2 > 1+ε, negatív tagokra az s(n)<(s(n)+(-1-epsilon))/2<-1-ε elemekből álló t sorozatot. Ez a komplementerben halad, mert sup |t| > 1+(ε/2).
De nem kompakt. Fedjük le ugyanis a
halmazokkal! Ezek nyíltak, de véges sok nem fedi le H-t.
Hasonló furcsaságok jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező tér bír jelentőséggel.
Példák
1. R2-ben.
Megoldás. Két hasznos dologot jegyezzünk meg:
- 1) Rm-ben minden norma ekvivalens, azaz mindegy melyiket használjuk, a nyílt halmazok (innen pedig a konvergencia) ugyanaz lesz,
- 2) Rm-ben konvergens egy sorozat akkor és csak akkor, ha komponenssorozatai konvergensek.
Tehát a határérték a mert itt konstans + (nullához tartó korlátos) alakú komponenssorozatok szerepelnek.
2. B[a,b]-ben.
Legyen B[a,b] a korlátos és zárt [a,b] intervallumon értelmetezett korlátos függvények sorozata. Ebben a térben a távolságot a szuprémumnormából származtatjuk:
azaz gyakorlatilag a "legnagyobb függvényérték különbség". Ekkor egy pont, azaz egy függvény ε sugarú környezete egy 2ε vastag szimmetrikus sáv a függvény grafikonja körül.
2.1. B[-1000,+1000]-ben az
sorozat (függvénysorozat) konvergens a szuprémumnormában. Ezt az előadás alapján úgy fog nevezni, hogy egyenletesen konvergens.
2.2. B[-2,+2]-ben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények függvénysorozata
nem konvergens a szuprémumnormában(!). Az előadáson azt mondjuk majd, hogy nem egyenletesen konvergens. Viszont mint függvénysorozat pontonként konvergens lesz és a szignumfüggvényhez mint hatérfüggvényhez tart.
3. Ez a korlátos sorozatok tere. Itt a
sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ez azért van, mert a sorozat bármely két különböző tagjának különbsége 1, így akárhogy is veszünk egy részsorozatát, az nem lesz Cauchy-sorozat, tehát konvergens sem lehet.
Bolzano-Weierstrass-tételkör
Zárt egy halmaz, ha minden benne haladó konvergens sorozat határértéke is a halmazban van.
Sorozatkompakt egy K halmaz, ha minden benne haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat.
Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Bizonyítás. Direktben a csúcselemes bizonyítás nem működik (nincs rendezés). Komponensenként sem működik! De egymás után komponensről komponensre haladva, egyre szűkebb részsorozatokat kiválasztva már tud működni.
Bolzano-Weierstrass-tétel. Korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Cauchy-sorozatok
A normált térbeli (an) sorozat Cauchy-sorozat, ha minden ε pozitív számra egy indextől kezdve a sorozat bármely két tagjának különbsége normája kisebb mint ε. A háromszögegyenlőtlenség segítségével belátható, hogy minden konvergens sorozat Cauchy-sorozat.
RN-ben minden Cauchy-sorozat kovergens. Ezt úgy is mondjuk, hogy RN teljes. Egy normált (vagy metrikus) teret akkor mondunk teljesnek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens.
Vannak nemteljes normált terek. , a véges sok elem kivételével nulla értéket felvevő sorozatok tere (a szuprémumnormával) például nem az, mert a
sorozat minden eleme térbeli, és előre megadott ε > 0-hoz található olyan N, hogy N < n1, n2 indexűek különbsége kisebb ε, de a sorozat "határa" az (1/m) sorozat, ami nem a térbeli.
Folytonosság
Azt mondjuk, hogy az Rn egy A részhalmazán értelezett és Rm-be ható f leképezés folytonos az értelmezési tartománya egy a ∈ A pontjában
Itt ||x-a|| az x-a Rn-beli euklideszi normája, ||f(x)-f(a)|| pedig az f(x)-f(a) Rm-beli euklideszi normája.
Kompakt halmazon folytonos függvények
Tétel (Weierstrass) Valós értékű, kompakt halmazon folytonos függvény felveszi minimumát és maximumát.
- Azaz ha K⊆RN kompakt és f ∈ C(K,R), akkor sup(f), inf(f) ∈ Ran(f)
Bizonyítás. 1) Először belátjuk, hogy kompakt halmazon folytonos függvény korlátos. Legyen ugyanis az ε=1 és f értelmezési tartománya K. A folytonosság miatt K minden u eleméhez létezik δ(u) pozitív szám, hogy f a Bδ(u) környezeten belül mindvégig az (f(u)-1;,f(u)+1) intervallumon belül marad. Ekkor a nyílt halmazokból álló
rendszer lefedi K-t, vagyis a Heine-Borel-tétel miatt már ebből véges sok is lefedi, azaz létezik V ⊆ K véges, hogy
Ezek képei lefedik Ran(f)-et:
Ez utóbbi a folytonosság miatt, tehát f képét véges sok korlátos intervallum lefedi, azaz korlátos.
2) Belátjuk, hogy f felveszi a szuprémumát (és ugyanígy az infimumát is). Legyen S := sup(f) (azaz f értékkészletének legkisebb felső korlátja). Ekkor a g : K R, x S-f(x) függvény nemnegatív értékeket vesz föl. Ha f nem venné fel a szuprémumát, akkor g pozitív lenne. Ekkor értelmezhető lenne a
függvény. h mert folytonos függvényekből van folytonosságot megőrző módon összetéve. Az 1) pont szerint korlátos is, ami azonban ellentmond annak, hogy S a szuprémum. Ugyanis S = sup Ran(f) azt jelenti, hogy minden 1/n alakú számra van xn ∈ K, hogy | S − f(xn) | < 1 / n, azaz van olyan K-beli xn sorozat, melynek képsorozata h által a végtelenbe tart, azaz h nem korlátos.
Tétel (Bolzano) Összefüggő halmaz folytonos képe összefüggő.
- (Ha f ∈ C(Rn,Rm), Dom(f) ívszerűen összefüggő, akkor Ran(f) is ívszerűen összefüggő.)
Bizonyítás. Az ívszerű összefüggőségből és a folytonos függvények kompozíciójára vonatkozó tételből.
Tétel (Heine) Kompakt halmazon folytonos függvény egyenletesen folytonos.
Bizonyítás. Heine-Borel-tétellel.
Feladat
Igazoljuk, hogy a ([0,1] × [0,1]) / id halmaz nem ívszerűen összefüggő R2-ben.
Házi feladat
1.
Igazoljuk, hogy ha f : Rn R és f az a ∈ Rn pontban folytonos és f(a) > 0, akkor létezik egy egész környezete a-nak, ahol f mindenhol pozitív.
2.
Igazoljuk definíció szerint, hogy az
függvény folytonos (0,0)-ban.
3.
Igazoljuk, hogy az alábbi függvény korlátos!
(Útmutatás. Használjuk a mértani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget, vagy ügyes átalakítás után polárkoordináta transzformációt.)
1. gyakorlat | 3. gyakorlat |