Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2017. február 12., 22:44-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) $f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$

b) $h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}$

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

$x=r\cos\varphi\,$

$y=r\sin\varphi\,$

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben $r=\sqrt{x^2+y^2}\,$ a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): $\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\frac{\pi}{2})$

Innen: $f(r)=r^2\,$ z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

$\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\}$ és $g(r)=\frac{1}{r^2}\,$ másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

$\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}$ szintén egyenesek a szintvonalak: $y=-\frac{1}{c}+x$ .

Iterált határérték

a) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?$

b*) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?$

c) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?$

MO.

a)

$g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\ \\ \cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& y\ne 0\\ \\ \cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& y= 0 \end{matrix}\right.$

$\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0$

b)

$g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ \\ 0 &,& x\leq 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\ \\ \not\exists &,& y= 0 \end{matrix}\right.$

Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:

$\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0$

*Feladat. a) Ha az iterált határértékek léteznek, de nem egyenlők, akkor a határérték nem létezik. b) Van olyan, hogy az iterált határérték nem létezik, de a határérték igen. c) Van olyan, hogy az iterált határértékek léteznek és egyenlők, de a határérték nem létezik.

Határérték

Def. Tegyük fel, hogy az $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ függvény értelmezési tartományának $(x 0, y 0)$ torlódási pontja. Azt mondjuk, hogy $f$ -nek létezik határértéke az $(x 0, y 0)$ pontban, és ez az A szám, ha

minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy $f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)$

Ilyenkor $\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$ -t vagy $\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A$ -t írunk.

Rendőrelv Legyen $f,g,h:U\to \mathbf{R}$ és $(x_0,y_0)\in U'$ . Ha van olyan δ>0, hogy minden $(x,y)\in\mathrm{B}(x_0,y_0)\cap U$ -ra

$g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,$

és $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A$ és $\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A$ , akkor

$\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A$

Határérték nem létezésének jellemzése. Tegyük fel, hogy az $f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}$ függvény értelmezési tartományának $(x 0, y 0)$ torlódási pontja. $f$ -nek nem létezik határértéke az $(x 0, y 0)$ pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan $(\mathbf{x}_n)$ és $(\mathbf{x}_n')$ sorozatok, hogy $\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)$ és $\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)$ , de $f(\mathbf{x}_n)$ vagy $f(\mathbf{x}_n')$ nem konvergensek, vagy ha igen, akkor $\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n)$ .

1. gyakorlat	3. gyakorlat

@@ 58. sor: / 58. sor: @@
 :minden &epsilon;>0-ra létezik &delta;>0, hogy <math>f\left(\dot{\mathrm{B}}_\delta(x_0,y_0)\right)\subseteq \mathrm{B}_\varepsilon(A)</math>
 Ilyenkor <math>\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A</math>-t vagy  <math>\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>-t írunk.
 '''Rendőrelv''' Legyen <math>f,g,h:U\to \mathbf{R}</math> és <math>(x_0,y_0)\in U'</math>. Ha van olyan &delta;>0, hogy minden <math>(x,y)\in\mathrm{B}(x_0,y_0)\cap U</math>-ra
 :<math>g(x,y)\leq f(x,y)\leq h(x,y)\,</math>
 és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}g=A</math> és <math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}h=A</math>, akkor
 :<math>\exists\lim\limits_{(x_0,y_0)}f=A</math>
+'''Határérték nem létezésének jellemzése.''' Tegyük fel, hogy az <math>f:\mathbf{R^2}\supset\to \mathbf{R}</math> függvény értelmezési tartományának <math>(x_0,y_0)</math> torlódási pontja. <math>f</math>-nek nem létezik határértéke az <math>(x_0,y_0)</math> pontban, pontosan akkor, ha léteznek olyan <math>(\mathbf{x}_n)</math> és <math>(\mathbf{x}_n')</math> sorozatok, hogy <math>\mathbf{x}_n\to (x_0,y_0)</math> és <math>\mathbf{x}_n'\to (x_0,y_0)</math>, de <math>f(\mathbf{x}_n)</math> vagy <math>f(\mathbf{x}_n')</math> nem konvergensek, vagy ha igen, akkor <math>\lim f(\mathbf{x}_n)\ne \lim f(\mathbf{x}_n)</math>.
 <!--
 ==Sorozatok konvergenciája normált térben==

Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

A lap 2017. február 12., 22:44-kori változata

Kétváltozós függvények szemléltetése

Iterált határérték

Határérték

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök