Matematika A2a 2008/2. gyakorlat

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Kétváltozós függvények szemléltetése

a) $f(x,y)=x^2+y^2,\qquad g(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}$

b) $h(x,y)=x-y\,\qquad k(x,y)=\frac{1}{x-y}$

Ezek (x,y,z) koordinátarendszerbeli z=f(x,y) felülettel ábrázolva hengerszimmetrikusak, érdemes az

$x=r\cos\varphi\,$

$y=r\sin\varphi\,$

polárkoordináta transzformációval átírni, ebben $r=\sqrt{x^2+y^2}\,$ a z-tengelytől mért távolság, és az első és második (majd a második és harmadik síknegyedben): $\varphi=\mathrm{arctg}\,\frac{y}{x}(+\frac{\pi}{2})$

Innen: $f(r)=r^2\,$ z körül körbeforgatott parabola (forgási paraboloid)

$\mathrm{Dom}(g)=\mathbf{R}^2\setminus\{0\}$ és $g(r)=\frac{1}{r^2}\,$ másodfokú hiperbola körbeforgatva.

Mindkettő szintvonalai körök.

b) h(x,y)=z=x-y egy sík egyenlete, szintvonalai: c=x-y, y=x-c egyenesek.

$\mathrm{Dom}(k)=\mathbf{R}^2\setminus\{(x,y)\mid y=x\}$ szintén egyenesek a szintvonalak: $y=-\frac{1}{c}+x$.

Iterált határérték

a) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=?$

b) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=?$

c) $\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{xy^3}{x^4+y^4}=?$

MO.

a)

$g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& x\ne 0\\ \\ \cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& x= 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\left\{\begin{matrix}\cfrac{0}{0+y^4}=0 &,& y\ne 0\\ \\ \cfrac{x^4}{x^4+0}=1 &,& y= 0 \end{matrix}\right.$

$\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=1,\qquad \lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4}{x^4+y^4}=\lim\limits_{y\to 0}h(y)=0$

b)

$g(x)=\lim\limits_{y\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} \not\exists\lim\limits_{y\to 0}\;2x\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right) &,& x>0\\ \\ 0 &,& x\leq 0 \end{matrix}\right.,\qquad h(y)=\lim\limits_{x\to 0}\;(x+|x|)\cdot \sin\left(\textstyle{\frac{1}{y}}\right)=\left\{\begin{matrix} 0 &,& y\ne 0\\ \\ \not\exists &,& y= 0 \end{matrix}\right.$

Tehát g csak a nemnegatívokon értelmezett és ott 0:

$\lim\limits_{x\to 0-}g(x)=0,\qquad \lim\limits_{y\to 0}h(y)=0$

1. gyakorlat

3. gyakorlat