Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlati tematika
A MathWikiből
< Szerkesztő:Mozo(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 14 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
'''1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája''' | '''1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája''' | ||
:(Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, '''metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása''' lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája) | :(Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, '''metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása''' lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája) | ||
− | * [[User:Mozo/A2 szigorlat 1]] | + | * [[User:Mozo/A2 szigorlat 1|1. tétel]] |
'''2. Konvergencia függvényterekben''' | '''2. Konvergencia függvényterekben''' | ||
− | :('''R''', '''R'''<sup>n</sup>, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, '''páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája''', határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása) | + | :('''R''', '''R'''<sup>n</sup>, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, '''páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája''' (<math>f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x}</math>, ''x''∈ '''R'''), határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása) |
+ | * [http://math.bme.hu/~asimon/sorok.pdf] | ||
'''3. Speciális függvénysorok''' | '''3. Speciális függvénysorok''' | ||
− | :(Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, '''az arctg sorfejtése | + | :(Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, '''az arctg sorfejtése (-1;1]-ben''', hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal, a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a<sub>0</sub>), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora) |
+ | * [http://math.bme.hu/~asimon/sorok.pdf] | ||
'''4. Numerikus sorok''' | '''4. Numerikus sorok''' | ||
:(Sor konvergenciájának definíciója, '''gyökkritérium és bizonyítása''', Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium) | :(Sor konvergenciájának definíciója, '''gyökkritérium és bizonyítása''', Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium) | ||
+ | * az előadásjegyzetből + | ||
+ | * [[User:Mozo/A2 szigorlat 4|4. tétel]] | ||
'''5. Folytonosság''' | '''5. Folytonosság''' | ||
− | :(Bolzano- ill. egy és többváltozós '''Weierstrass-tétel és bizonyítása''' | + | :(Bolzano- ill. egy és többváltozós '''Weierstrass-tétel és bizonyítása''', folytonosság és határérték kapcsolata) |
+ | * [[User:Mozo/A2 szigorlat 5|5. tétel]] | ||
'''6. Egyenletes folytonosság''' | '''6. Egyenletes folytonosság''' | ||
:(Egyenletes folytonosság definíciója, '''Heine tétele és bizonyítása''', korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira) | :(Egyenletes folytonosság definíciója, '''Heine tétele és bizonyítása''', korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira) | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 6|6. tétel]] | ||
'''7. Differenciálhatóság''' | '''7. Differenciálhatóság''' | ||
:(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, '''a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix''', Young-tétel) | :(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, '''a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix''', Young-tétel) | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 7|7. tétel]] | ||
'''8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály''' | '''8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály''' | ||
− | :(Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok | + | :(Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok, szakadás, megszüntethető szakadás, első és másodfajú szakadás, '''Darboux-tétel és bizonyítása''') |
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 8|8. tétel]] | ||
'''9. Implicit és inverz függvény tétel''' | '''9. Implicit és inverz függvény tétel''' | ||
:(Inverz definíciója, '''egyváltozós függvény inverzének létezése,''' két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel) | :(Inverz definíciója, '''egyváltozós függvény inverzének létezése,''' két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel) | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 9|9. tétel]] | ||
'''10. Valós értékű függvények vizsgálata''' | '''10. Valós értékű függvények vizsgálata''' | ||
:(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, '''Lagrange-tétel és bizonyítása''') | :(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, '''Lagrange-tétel és bizonyítása''') | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 10|10. tétel]] | ||
'''11. Egyváltozós Riemann-integrál ''' | '''11. Egyváltozós Riemann-integrál ''' | ||
:(Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, '''Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása''') | :(Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, '''Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása''') | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 11|11. tétel]] | ||
'''12. Improprius integrál''' | '''12. Improprius integrál''' | ||
:(Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra | :(Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 12|12. tétel]] | ||
− | ''' | + | '''13. Integrálási stratégiák''' |
:('''A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk''', helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása) | :('''A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk''', helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása) | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 13|13. tétel]] | ||
'''14. Többváltozós Riemann-integrálja''' | '''14. Többváltozós Riemann-integrálja''' | ||
:(Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, '''a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal''', integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség) | :(Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, '''a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal''', integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség) | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 14|14. tétel]] | ||
'''15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése''' | '''15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése''' | ||
:(Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, '''polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa''', integrálok felcserélése) | :(Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, '''polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa''', integrálok felcserélése) | ||
+ | [http://math.bme.hu/~asimon/tobbvalt.pdf] | ||
'''16. Lineáris leképezések''' | '''16. Lineáris leképezések''' | ||
:(Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, '''dimenziótétel és bizonyítása''') | :(Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, '''dimenziótétel és bizonyítása''') | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 16|16. tétel]] | ||
'''17. Leképezések mátrixa és determinánsa''' | '''17. Leképezések mátrixa és determinánsa''' | ||
:(Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, '''a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása''', ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, '''a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása''', determinánsok szorzástétele) | :(Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, '''a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása''', ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, '''a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása''', determinánsok szorzástétele) | ||
+ | *[[User:Mozo/A2 szigorlat 17|17. tétel]] | ||
'''18. Mátrixalgebra''' | '''18. Mátrixalgebra''' | ||
:(Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, '''inverz adjungáltas képletének bizonyítása''' ) | :(Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, '''inverz adjungáltas képletének bizonyítása''' ) | ||
+ | [http://people.inf.elte.hu/cuztaai/targyak/2011-12-1/LinAlg/fullextra.pdf] | ||
+ | [https://hu.wikipedia.org/wiki/Adjung%C3%A1lt_%28m%C3%A1trixinvert%C3%A1l%C3%A1s%29] | ||
'''19. Gauss-elimináció''' | '''19. Gauss-elimináció''' | ||
− | :(Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, '''inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása''' | + | :(Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, '''inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása''' (LU-felbontás)) |
+ | [http://people.inf.elte.hu/cuztaai/targyak/2011-12-1/LinAlg/fullextra.pdf] | ||
'''20. Sajátprobléma''' | '''20. Sajátprobléma''' | ||
− | :(Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, '''sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása''', főtengelytétel, diagonalizáció, Jordan-normálforma.) | + | :(Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, '''sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása''', főtengelytétel, diagonalizáció, (Jordan-normálforma).) |
+ | [http://people.inf.elte.hu/cuztaai/targyak/2011-12-1/LinAlg/fullextra.pdf] |
A lap jelenlegi, 2017. június 16., 12:00-kori változata
1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája
- (Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája)
2. Konvergencia függvényterekben
- (R, Rn, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája (, x∈ R), határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása)
3. Speciális függvénysorok
- (Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, az arctg sorfejtése (-1;1]-ben, hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal, a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a0), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora)
4. Numerikus sorok
- (Sor konvergenciájának definíciója, gyökkritérium és bizonyítása, Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium)
- az előadásjegyzetből +
- 4. tétel
5. Folytonosság
- (Bolzano- ill. egy és többváltozós Weierstrass-tétel és bizonyítása, folytonosság és határérték kapcsolata)
6. Egyenletes folytonosság
- (Egyenletes folytonosság definíciója, Heine tétele és bizonyítása, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira)
7. Differenciálhatóság
- (Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix, Young-tétel)
8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály
- (Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok, szakadás, megszüntethető szakadás, első és másodfajú szakadás, Darboux-tétel és bizonyítása)
9. Implicit és inverz függvény tétel
- (Inverz definíciója, egyváltozós függvény inverzének létezése, két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel)
10. Valós értékű függvények vizsgálata
- (A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, Lagrange-tétel és bizonyítása)
11. Egyváltozós Riemann-integrál
- (Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása)
12. Improprius integrál
- (Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra
13. Integrálási stratégiák
- (A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk, helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása)
14. Többváltozós Riemann-integrálja
- (Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal, integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség)
15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése
- (Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa, integrálok felcserélése)
16. Lineáris leképezések
- (Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, dimenziótétel és bizonyítása)
17. Leképezések mátrixa és determinánsa
- (Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása, ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása, determinánsok szorzástétele)
18. Mátrixalgebra
- (Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, inverz adjungáltas képletének bizonyítása )
19. Gauss-elimináció
- (Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása (LU-felbontás))
20. Sajátprobléma
- (Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása, főtengelytétel, diagonalizáció, (Jordan-normálforma).)