Szerkesztő:Mozo/A2 szigorlati tematika

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
59. sor: 59. sor:
 
'''15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése'''
 
'''15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése'''
 
:(Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, '''polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa''', integrálok felcserélése)
 
:(Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, '''polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa''', integrálok felcserélése)
* [http://math.bme.hu/~asimon/sorok.pdf]
+
[http://math.bme.hu/~asimon/tobbvalt.pdf]
  
 
'''16. Lineáris leképezések'''
 
'''16. Lineáris leképezések'''

A lap 2017. június 16., 10:56-kori változata

1. Halmazalgebra, függvényterek topológiája

(Halmazműveletek, halmazok Boole-algebrája, metszet-unió disztributivitás és duálisának bizonyítása lineáris műveletek függvénytereken, szuprémum és p-edik norma, távolság, gömbi környezetek, zárt, nyílt, nyílt-zárt, korlátos, kompakt halmazok, véges dimenziós normált terek normáinak ekvivalenciája)


2. Konvergencia függvényterekben

(R, Rn, B[a,b]-beli sorozatok és sorok konvergenciája, Cauchy-sorozatok, pontonkénti és egyenletes konvergencia kapcsolata, páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények sorozatának pontonkénti és egyenletes konvergenciája (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x}, xR), határfüggvény folytonossága, deriválhatósága és integrálhatósága, Weierstrass-kritérium, egyenletes konvergencia cáfolása)

3. Speciális függvénysorok

(Hatványsorok konvergenciatartománya, Cauchy--Hadamard-tétel, az arctg sorfejtése (-1;1]-ben, hatványsor együtthatósorozatának egyértelműsége, Taylor-tétel Lagrange-féle maradéktaggal, a Taylor-polinom hibája, hibabecslés Leibniz-sor esetén, Fourier-sor, függvényátlag a sorban (a0), páros és páratlan lépcsős függvények Fourier-sora)

4. Numerikus sorok

(Sor konvergenciájának definíciója, gyökkritérium és bizonyítása, Cauchy-, szükséges-, hányados-, kondenzációs-, p-edik-, összehasonlító- és intelligens- (Serény-) kritérium)

5. Folytonosság

(Bolzano- ill. egy és többváltozós Weierstrass-tétel és bizonyítása, folytonosság és határérték kapcsolata)

6. Egyenletes folytonosság

(Egyenletes folytonosság definíciója, Heine tétele és bizonyítása, korlátos derivált és egyenletes folytonosság, egyenletes folytonosság kiterjesztése az értelmezési tartomány határpontjaira)

7. Differenciálhatóság

(Parciális és totális deriválhatóság, folytonos differenciálhatóság és ezek kapcsolata, a differenciál mátrix-reprezentációja Jacobi-mátrix, Young-tétel)

8. Differenciálási szabályok és L'Hospital-szabály

(Differenciálási szabályok, elemi függvények deriváltjai, L'Hospital-szabályok, szakadás, megszüntethető szakadás, első és másodfajú szakadás, Darboux-tétel és bizonyítása)

9. Implicit és inverz függvény tétel

(Inverz definíciója, egyváltozós függvény inverzének létezése, két és többváltozós inverz és implicit-függvény tétel)

10. Valós értékű függvények vizsgálata

(A függvénytulajdonságok analitikus jellemzése (szélsőérték, monotonitás, konvexitás), első és második derivált próba, Hesse- és Jacobi-mátrixok, Lagrange-tétel és bizonyítása)

11. Egyváltozós Riemann-integrál

(Egyváltozós Riemann-integrál, Riemann-integrálhatóság jellemzése (korlátosság, nullmértékűség), monoton függvények szakadásai, primitív függvény, Newton--Leibniz-tétel és bizonyítása)

12. Improprius integrál

(Improprius integrál és létezésének kritériumai, összehasonlító kritériumok, ekvikonvergencia (Serény-) kritérium, forgástestek térfogatának kiszámítása, integrálkritérium sorokra

13. Integrálási stratégiák

(A helyettesítéses és parciális integrálás formulái és bizonyításuk, helyettesítés a határozott integrálban, integrálás helyettesítéssel (gyökös, exponenciális, trigonometrikus helyettesítés), elemi függvények inverzeinek integrálása)

14. Többváltozós Riemann-integrálja

(Többváltozós függvények Riemann-integrálja téglán, paraméteres integrálok, a paraméteres integrál egyenlősége a Riemann-integrállal, integrálhatóság korlátos tartományon, korlátoson ill. kompakton nem R-integrálható függvények, Jordan-mérhetőség)

15. Integráltranszformáció és a tartomány paraméterezése

(Integráltranszformációs tétel, polár, henger és gömbi koordinátázás, hiperbola-lineáris koordinátahálózatban integrálás, polárkoordináta-áttérés Jacobi-determinánsa, integrálok felcserélése)

[3]

16. Lineáris leképezések

(Lineáris tér és altér definíciója, lineáris leképezés definíciója, képtér és magtér dimenziója, rang, dimenziótétel és bizonyítása)

17. Leképezések mátrixa és determinánsa

(Leképezések mátrixa, leképezés mátrixának transzformációja bázisváltáskor, a determináns invarianciája bázisváltáskor és ennek bizonyítása, ortogonális mátrixok és ortonormált bázis, a transzponált invarianciája ortonormált bázisváltás esetén és ennek bizonyítása, determinánsok szorzástétele)

18. Mátrixalgebra

(Mátrixszorzás és mátrixgyűrű definíciója, inverz mátrix definíciója, létezésének feltételei, kiszámítása, nullosztó, nillpotens mátrix, nem kommutáló mátrixok, inverz adjungáltas képletének bizonyítása )

19. Gauss-elimináció

(Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldása, lépcsős és redukált lépcsős alak, a megoldás létezése és egyértelműsége, homogén egyenlet megoldástere, magtér meghatározása, sortér és sortranszformációk, oszloptér és sortranszformációk, inverz mátrix meghatározása és az eljárás jóságának igazolása, LU-felbontás)

20. Sajátprobléma

(Leképezés sajátértéke és sajátvektora, sajátaltér, sajátérték meghatározása és az eljárás jóságának bizonyítása, főtengelytétel, diagonalizáció, Jordan-normálforma.)
Személyes eszközök